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Conjuntos de Números
Objetivo de Aprendizaje
· Identificar y definir los números, naturales, completos, enteros, racionales, irracionales y reales.
Introducción
Los matemáticos reconocen varios conjuntos de números que comparten ciertas características. Estas categorías son útiles cuando ciertos tipos de números son válidos para valores y variables. Nuestro entendimiento y clasificación de los diferentes conjuntos de números se ha desarrollado durante miles de años
De Números Naturales a Enteros
Las primeras civilizaciones encontraron formas diferentes para escribir números, pero todas empezaron con el mismo conjunto de números que los niños de primaria aprenden hoy; los números naturales (también llamados números de conteo). Estos son los números 1, 2, 3, etc. — los números que usamos cuando contamos. Son naturales porque nuestro entendimiento de los números empieza con el reconocimiento de múltiples copias de cosas, como cuántos dedos tenemos, o el tamaño de conjuntos, como cuántos juguetes tenemos.
Aunque las civilizaciones más antiguas entendían "nada" — sabían cuando no tenían ninguna vaca, ni hijos, por supuesto — el número cero tiene una historia interesante. El primer uso de un símbolo para representar "nada" no fue sino hasta el siglo 3 AC. El sistema numérico Babilonio usaba los símbolos sólo como un marcador de posición en un sistema basado en posiciones, similar a la forma en que hoy usamos el 0 en el número 702 para representar no decenas. El primer reconocimiento del 0 como número, en la misma forma que 1 y 23 son números es incierto, pero puede datarse en el siglo 9 en India. Cuando se suma el 0 al conjunto de 1, 2, 3, etc., para formar los números completos. Estos se llaman "completos" porque no contienen fracciones.
Los enteros son números completos más sus contrapartes negativas: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Los números negativos aparecieron en China alrededor del siglo primero AC. (¡Eso es 1000 años antes que se reconociera al cero como número!) Sin embargo, a pesar de su utilidad para representar conceptos como deuda, no fue sino hasta el siglo 18 — hace menos de 300 años — que ganaron aceptación general como números.
¿A cuál de los siguientes conjuntos pertenece el número 0?
números naturales
números completos
enteros
A) Sólo a los números naturales
B) Sólo a los números completos
C) A los números naturales y a los números completos
D) Sólo a los números enteros
E) A los números completos y a los números enteros
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Números Racionales
Los números fraccionarios han existido desde antes que los números negativos y el cero. Los Egipcios antiguos (a partir del siglo 21 AC) estudiaron las fracciones. Hoy en día, los números fraccionarios están incluidos en el conjunto de los números racionales, que son los números que se pueden escribir de la forma donde p y q son enteros. Los números racionales pueden escribirse de muchas formas. Por ejemplo, también puede escribirse como , 5.66…, o . Sin importar la forma en que sea usado, ya que este número puede ser escrito como el radio de dos enteros, el número es racional.
Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador q. Por ejemplo, -3 puede escribirse como , por lo que también es un número racional.
Hasta ahora, los tipos de números que hemos descrito forman una serie de conjuntos anidados. Empezamos con los números naturales, luego expandimos ese conjunto con el 0 para formar los números completos. Luego incluimos los números negativos con los números completos para crear los enteros. Ahora tenemos los números racionales, los cuales incluyen a todos los enteros además de muchos otros números. El diagrama muestra cómo este conjunto de números está "anidado":
Números Irracionales
El matemático Griego Pitágoras, de quien toma el nombre el Teorema de Pitágoras, era el líder de un grupo conocido como los Pitagóricos. Ellos creían que todas las cantidades podían ser expresadas con un número natural o una relación entre los números naturales. Cuenta la leyenda que creían esto tan fervientemente que cuando uno de sus miembros usó el Teorema de Pitágoras para demostrar que la hipotenusa del siguiente triángulo no puede ser expresada como el radio de números naturales, lo exiliaron. (O peor — algunas historias dicen que lo echaron por la borda cuando estaban en el mar y lo vieron ahogarse!)
Ahora sabemos que los Pitagóricos estaban equivocados, y que sí hay cantidades que no son racionales. Estos números irracionales no pueden ser expresados como el radio de enteros. Cualquier raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto, por ejemplo , es irracional.
Explicación paso a paso: