Question

si: csc2x-cot⁡2x= 1/3 calcular: W=csc⁡4x+cot⁡4x

Answer 1

csc2x-cot⁡2x= 1/3
Entonces:
csc2x+cot2x= 3 (Por identidad)
Sumando ambas ecuaciones tenemos:
2csc2x=10/3
csc2x=5/3 ⇒ sen2x=3/5   y cos2x=4/5
Ahora:
csc⁡4x+cot⁡4x=1/sen4x+cos4x/sen4x=(1+cos4x)/sen4x
⇒sen4x=2sen2xcos2x y cos4x=cos²2x - sen²2x  (Ident. del angulo doble)
Ahora:
(1+cos4x)/sen4x=(1+cos²2x - sen²2x)/(2sen2xcos2x)
Pero: sen2x=3/5   y cos2x=4/5
⇒(1+cos²2x - sen²2x)/(2.sen2x.cos2x)=

(1+16/25 - 9/25)/(2.3/5.4/5)=
(1+7/25)/(24/25)=
(32/25)/(24/25)= 32/24 = 4/3 

Eso es todo.

Answer 2

Bueno, lo primero es tener en cuenta algunas identidades trigonométricas que necesitas saberlas....de éstas se derivan toda la geometría...

$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$ 

Luego, unas razones trigonométricas que debes saber manejar

$csc(x)= \frac{1}{sin(x)} \\ cot(x)= \frac{cos(x)}{sin(x)}$

y por último propiedades de la función seno y coseno...

$sin(2x)=sin(x+x)=sin(x)cos(x)+cos(x)sin(x)=2sin(x)cos(x) \\ cos(2x)=cos(x+x)=cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x)=... \\ ...=cos^{2}(x)-sin ^{2}(x)$

y listo ahora sí...vamos a empezar...primero desarrollemos la condición que nos dan...

$:csc(2x)-ctg(2x)= \frac{1}{3} \\ : \frac{1}{sin(2x)} - \frac{cos(2x)}{sin(2x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{1-cos(2x)}{sin(2x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{1-(cos ^{2}(x) -sin ^{2}(x) )}{sin(2x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{(1-cos ^{2}(x) )+sin ^{2}(x) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{sin ^{2}(x) +sin ^{2}(x) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{2sin ^{2}(x) }{2sin(x)cos(x)} = \frac{1}{3} \\ : \frac{sin(x)}{cos(x)} = \frac{1}{3} \\ :tan(x)= \frac{1}{3}$

ahora apliquemos un poco de triángulos...nos dice que la tangente de el ángulo x es igual a 1/3 pero si recuerdas la tangente es igual a cateto opuesto sobre cateto adyacente...abajo te dejo la imagen de triángulo que nos va a ayudar a resolver el ejercicio...
Bien, vamos a desarrollar ahora W

$W=csc(4x)+ctg(4x) \\ W= \frac{1}{sin(4x)} + \frac{cos(4x)}{sin(4x)} \\ W= \frac{1-cos(4x)}{sin(4x)}$
Ahora vamos a hacer algo de "trampa", vamos a usar la identidad trigonométrica del coseno de 4x que ya fue demostrada...nosotros vamos a usarla...digo trampa porque no se deberían usarlas, se las debe intuir...y de ahí usarlas..pero para no sentirme mal...vamos a demostrarla...

$cos(4x)=cos(2(2x))=cos(2x+2x)=cos ^{2} (2x)-sin ^{2} (2x)=... \\ ...=(1-sin ^{2}(2x) )-sin ^{2} (2x)=1-2sin ^{2} (2x)=1-2(sin(2x)) ^{2} =... \\ ...=1-2(2sin(x)cos(x)) ^{2} =1-2(4sin ^{2}(x)cos ^{2}(x) ) \\ \\ cos(4x)=1-8sin ^{2} (x)cos ^{2} (x)$

ahora para el seno...es exactamente lo mismo
$sin(4x)=sin(2x+2x)=2sin(2x)cos(2x)=2(2sin(x)cos(x))cos(2x) \\ ...=4sin(x)cos(x)(cos ^{2}(x)-sin ^{2} (x) )$ 
y con eso basta...ahora usemos éstas dos cosas que acabamos de demostrar y reemplacemos en W

$W= \frac{1-cos(4x)}{sin(4x)} \\ W= \frac{1-(1-8sin ^{2}(x)cos ^{2}(x) )}{4sin(x)cos(x)(cos ^{2}(x)-sin ^{2}(x) )} \\ W= \frac{8sin ^{2}(x)cos ^{2}(x) }{4sin(x)cos(x)(cos ^{2}(x)-sin ^{2}(x) )}$

si te fijas podemos simplificar el seno, y también el coseno...y nos quedaría así..y el 4 con el 8

$W= \frac{2sin(x)cos(x) }{cos ^{2}(x)-sin ^{2}(x) )}$ 
aún podemos reducir un poco más

$W= \frac{2sin(x)cos(x) }{cos ^{2}(x)-sin ^{2}(x) )} \\ W= \frac{2sin(x)cos(x)}{(1-sin ^{2} (x))-sin ^{2} (x))} \\ W= \frac{2sin(x)cos(x)}{1-2sin ^{2}(x) }$

podemos dejarle hasta ahí ya está mejor...ahora vamos a usar el triángulo que obtuvimos anteriormente y vamos a obtener lo que necesitamos para saber cuanto vale W es decir necesitamos saber cuanto es el seno de x y el coseno de x....

entonces mira el imagen que ahí ya están los valores del seno y coseno de x, ahora reemplacemos..

$W= \frac{2sin(x)cos(x)}{1-2sin ^{2}(x) } = \frac{2sin(x)cos(x)}{1-2(sin(x) )^{2}}=... \\ ...= \frac{2( \frac{1}{ \sqrt{10} } )( \frac{3}{ \sqrt{10} } )}{1-2( \frac{1}{ \sqrt{10} } ) ^{2} } = \frac{ \frac{6}{10} }{1- \frac{2}{10} } = \frac{ \frac{3}{5} }{1- \frac{1}{5} } = \frac{\frac{3}{5}}{ \frac{4}{5} } = \frac{4}{3}$

y ya eso fue todo....:3...
Nota: es bueno que sepas usar las identidad trigonométricas, como te diste cuenta, todas identidades que se te puedan ocurrir todas se las demuestra en base a unas poquitas...la primera y por supuesta las dos propiedades de la suma del seno y la suma de coseno...y ya
Es bueno que sepas demostrarlas, hay profesores que te ponen unas cosas feísimas, y acuérdate alguna de esas fórmula del seno de 7x al cuadrado y no sé que horrores más...con que te sepas los primeros puntos que puse al comienzo vas a poder demostrar lo que te pongan....ahora si te aprendes pues muchísimo mejor..:P..