Question

Inecuaciones:

x² + 5x -14 ≥ 0
↓
partido en :
x-5

Answer 1

Primero factoriza el polinomio del numerador, resolviendo la ecuación de segundo grado y hallando sus raíces:
$x^2+5x-14=0\to x=\frac{-5\pm \sqrt{25+56}}{2}=\frac{-5\pm 9}2$
Luego las raíces son 2 y -7.
Luego el polinomio del numerador se factoriza según (x-2)(x-(-7)), es decir, 
$(x-2)(x+7)$
Luego tenemos tres factores en la fracción:
$\frac{(x-2)(x+7)}{x-5}\ge 0$
Aplicamos la regla de los signos para las raíces que hemos obtenido.
Estas raíces en la recta real nos generan 3 cortes (intervalos) en la recta real:
...........-7.........2...........5...........
Luego tenemos los intervalos $(-\infty, -7), (-7, 2), (2, 5), (5, +\infty)$ (observa que todos los intervalos son abiertos.
Ahora tomamos cada factor y vemos el signo en cada intervalo, haciendo la siguiente tabla:
$\left.\begin{array}{c|c|c|c|c} \text{factor} & (-\infty, -7)&(-7, 2)& (2, 5) & (5, +\infty) \\ x-2 & -&-&+&+\\ x+7 & -&+&+&+\\x-5& -&-&-&+\\ &&&&\\&-&\boxed +&-&\boxed +\end{array}\right.$

Luego la solución de la inecuación es la unión de aquellos intervalos que quede el signo +:
$x\in [-7,2]\cup (5, +\infty)$

*Nota: -7 y 2 pueden ser valores que se le dan a x, ya que harían 0 el numerador y ese valor está permitido por la desigualdad. 5 no puede dársele a x porque anula el denominador y no podemos dividir por cero.