Question

Una torre se encuentra a 300m de distancia a un objeto formando un ángulo de depresión de 10°. Calcular la altura de la torre

Answer 1

La altura de la torre es de aproximadamente 52.094 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC que equivale a la altura de la torre, el lado AC que es la longitud visual y a la vez la distancia desde lo alto de la torre al objeto con un ángulo de depresión de 10° Caso contrario no se haría referencia a un ángulo de depresión  que representa la distancia desde el barco hasta la base del castillo y el lado AB es el plano horizontal donde se ubica el objeto a cierta distancia.

Donde se pide hallar:

La altura de la torre

Por ser ángulos alternos internos- que son homólogos- se traslada el ángulo de 10° al punto A  para facilitar la situación

Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales P1 y P2

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la distancia a un objeto desde lo alto e un torre y de un ángulo de depresión de 10°

• Distancia al objeto = 300 metros

• Ángulo de depresión = 10°

• Debemos hallar la altura de la torre

Si el seno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa

Como sabemos el valor de la hipotenusa (distancia al objeto), asimismo conocemos un ángulo de depresión de 10° y debemos hallar la altura de la torre relacionamos los datos que tenemos con el seno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { sen(10)^o = \frac{cateto \ opuesto }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { sen(10)^o = \frac{altura \ torre }{ distancia \ al\ objeto } }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre = distancia \ al\ objeto \ . \ sen(10)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre = 300\ metros\ . \ sen(10)^o }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre = 300\ metros\ . \ 0.1736481776669 }}$

$\boxed { \bold {altura \ torre \approx 52,09445\ metros }}$

$\large\boxed { \bold {altura \ torre \approx 52,094\ metros }}$

La altura de la torre es de aproximadamente 52.094 metros