Question

Determina la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta 7x-4y+1= 0 y pasa por el punto A (3,-2). ​

Answer 1

La recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (3,-2) está dada por:

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{4}{7} \ x- \frac{2}{7} }}$

Solución

Sea la recta

$\large\boxed {\bold { 7x-4y+1= 0 }}$

Reescribimos la ecuación en la forma pendiente intercepción

También llamada forma principal

$\large\boxed {\bold { y = mx +b }}$

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

$\boxed {\bold { 7x-4y+1= 0 }}$

Resolvemos para y

$\boxed {\bold { -4 y =-7x-1 }}$

$\boxed {\bold { \frac{\not-4y}{\not-4} = \frac{-7x}{-4} + \frac{-1}{-4} }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{7x}{4} + \frac{1}{4} }}$

$\large\boxed {\bold { y = \frac{7}{4}\ x + \frac{1}{4} }}$

Donde

$\large\boxed {\bold { m_{1} = \frac{7}{4} }}$

Es la pendiente de la recta dada

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular a la dada

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular $\bold { m_{2} }$

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original $\bold { m_{1} }$

$\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ \frac{7}{4} } }}$

$\boxed{\bold {m_{2} = -\left (1 \ . \ \frac{4}{7} \right) }}$

$\large\boxed{\bold {m_{2} = - \frac{4}{7} }}$

La pendiente de una recta perpendicular a la dada es -4/7

Hallamos la recta perpendicular a la dada que pase por el punto A (3,-2)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto A (3,-2) tomaremos x1 = 3 e y1 = -2

Y para la pendiente m $\bold{ -\frac{4}{7} }$ según lo explicado en el paso anterior

Por lo tanto:

$\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { -\frac{4}{7} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold { (3,-2) }$

$\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }$

$\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}$

$\boxed {\bold { y - (-2) = -\frac{4}{7} \ . \ (x - (3) )}}$

$\boxed {\bold { y+ 2 = -\frac{4}{7} \ . \ (x - 3 )}}$

Resolvemos para y

$\large\textsf{Escribimos la ecuaci\'on en la forma pendiente intercepci\'on }$  

$\boxed {\bold { y+ 2 = -\frac{4}{7} \ . \ (x - 3 )}}$

$\boxed {\bold { y+ 2 = -\frac{4x}{7} + \frac{12}{7} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{4x}{7} + \frac{12}{7} - 2 }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{4x}{7} + \frac{12}{7} - 2\ . \ \frac{7}{7} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{4x}{7} + \frac{12}{7} - \frac{14}{7} }}$

$\boxed {\bold { y = -\frac{4x}{7} - \frac{2}{7} }}$

$\large\boxed {\bold { y = -\frac{4}{7} \ x- \frac{2}{7} }}$

Habiendo hallado la recta perpendicular a la dada y que pasa por el punto A (3,-2)

Siendo las dos rectas perpendiculares  

Se agrega gráfico