Question

¿cuantas fracciones irreductibles con denominador 12 existen entre 2 y 3 1/2?

Answer 1

Las fracciones irreducibles tienen la característica de que sus términos (numerador y denominador) no tienen factores primos comunes excepto el 1, por tanto no se pueden reducir más. Es como decir que el numerador y denominador son coprimos.

Primero hay que encontrar las fracciones que representan al 2 y al 3 1/2 cuando tienen el 12 como denominador.

El 2 puede representarse como la fracción impropia  $\frac{24}{12}$ y ya tenemos este número como fracción de denominador 12

El 3 1/2 es como decir, 3,5 (tres y medio) y para pasarlo a fracción con denominador 12 se hace esto:
$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2} = \frac{7*6}{2*6}= \frac{42}{12}$
que también es impropia porque el numerador es mayor que el denominador.

Es decir que el intervalo que nos pide es entre las fracciones:
$\frac{24}{12}$ y $\frac{42}{12}$

Ese intervalo consta de todos los números que tenemos entre los dos numeradores, o sea, entre 24 y 42.

Como ya sabemos que la irreducible tiene como condición que numerador y denominador no deben tener factores primos comunes, descompongo el 12 en sus factores primos para ver cuáles son:
12 = 2×2×3
 
Tengo que buscar ahora los números del numerador que hay entre 24 y 42 que no tengan esos factores cuando los descompongo factorialmente (como el 12 lleva el 2, ya descarto de entrada a todos los números pares) y serán:
25 = 5×5
29 = es nº primo y por tanto es válido al no tener otro divisor que el 1
31 = es nº primo y ocurre lo mismo que con el de arriba.
35 = 5×7
37 = es primo
41 = es primo

Total = 6 números que forman las fracciones irreducibles...

$\frac{25}{12} , \frac{29}{12} , \frac{31}{12} , \frac{35}{12} , \frac{37}{12} , \frac{41}{12} \\ \\ Saludos.$