Question

Ayuda porfa

Desde un punto situado en una línea horizontal a 140 metros de la base de una torre, se encuentra que el ángulo de elevación a la parte más alta de la torre es de 60°. La altura de la torre es:

Answer 1

La altura de la torre es de 140√3 metros. O de aproximadamente 242.487 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Con la salvedad que el triángulo dado resulta ser lo que se llama un triángulo notable.      

¿Qué son los triángulos notables?

Los triángulos notables son triángulos rectángulos que tienen ciertas características establecidas que permiten encontrar los lados de un triángulo sin utilizar el teorema de Pitágoras o las razones trigonométricas.

Los triángulos notables son figuras geométricas que poseen en sus vértices ángulos notables, por lo tanto las magnitudes de sus lados pueden ser calculadas gracias a dichos ángulos notables y estableciendo una relación entre los lados.

Los triángulos notables utilizan proporciones entre las relaciones de los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo. Los lados de un triángulo no se pueden encontrar si se saben sólo los ángulos del triángulo, pero lo que sí se puede definir son las proporciones que los lados tendrán.  

En estos triángulos se utiliza la letra “k” indicando que es una proporción entre sus lados.

Y esa letra k a la vez es una constante, que conocida permite hallar los lados de un triángulo notable con facilidad

Existen varios triángulos notables muy usados y conocidos y sumamente empleados en la resolución de problemas matemáticos, geométricos y sus relacionados. Pero no es la intención de hablar aquí de ellos.

Sólo mencionaremos el que se relaciona con el problema propuesto.

• El cual dentro de los triángulos notables es el llamado 30-60 (por sus ángulos)

• Este triángulo tiene un ángulo de 30° y otro de 60°, donde el lado opuesto al ángulo de 30° medirá 1k y el lado opuesto al ángulo de 60° medirá k√3 y la hipotenusa medirá 2k (o el doble de lo que mida el primer lado)

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo  y resolución del ejercicio.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC  el cual está conformado por el lado AB que equivale a la altura de la torre, el lado BC que representa la distancia hasta la base de la torre desde determinado punto y el lado AC que es la proyección visual hasta la parte más alta de la torre con un ángulo de elevación de 60°

Solución

Método 1

Razones trigonométricas con ángulos notables

Conocemos

• Distancia hasta la base de a torre = 140 metros

• Ángulo de elevación = 60°

• Debemos hallar la altura de la torre

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Cono conocemos el valor del cateto adyacente y debemos hallar el valor del cateto opuesto relacionamos estos datos con la tangente del ángulo α

Como tenemos un triángulo notable

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \sqrt{3} }}$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold { tan(60)^o = \frac{ altura \ de \ la \ torre }{ distancia \ a \ la \ torre } = \frac{AB}{BC} } }$

$\boxed{\bold {altura\ de \ la \ torre \ (AB) = distancia \ a \ la \ torre \ . \ tan(60)^o }}$

$\boxed{\bold {altura\ de \ la \ torre \ (AB) = 140\ metros \ . \ tan(60)^o }}$

$\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \ (AB) = 140\ metros \ . \ \sqrt{3} }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \ (AB) = 140 \sqrt{3}\ metros }}$

La altura de la torre es de 140√3 metros

En forma decimal

$\large\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \ (AB) \approx 242.487\ metros }}$

Método 2

Hallando el valor de la constante k

La distancia hasta la base de la torre es de 140 metros

Y al ser el lado adyacente al ángulo notable de 60° medirá 1k

Planteamos

$\boxed{\bold {distancia \ hasta \ la \ torre = 140 \ metros = 1k }}$

Despejamos a la constante k

$\boxed{\bold { 1k = 140 \ metros }}$

$\boxed{\bold { k = \frac{ 140 \ metros }{1} }}$

$\boxed{\bold { k = 140 }}$

El valor de la constante k es 140

La altura de la torre es el lado opuesto al ángulo de 60° y mide k√3

Planteamos

$\boxed{\bold {altura\ de \ la \ torre \ (AB) = k \sqrt{3} }}$

Reemplazamos el valor de la constante k

$\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \ (AB) = 140\ . \sqrt{3} }}$

$\large\boxed{\bold { altura\ de \ la \ torre \ (AB) = 140 \sqrt{3}\ metros }}$

La altura de la torre es de 140√3 metros. O de aproximadamente 242.487 metros