Question

Un palacio tiene dos jardines de forma cuadrada, cuyos lados miden una
cantidad entera de metros. Si sumas la cantidad de metros que mide el lado del jardín pequeño con la cantidad de metros que mide el lado del jardín grande, obtienes 21 metros. Pero si multiplicas esas dos medidas,
obtienes como resultado 80. ¿Cuánto suman las áreas de los dos jardines?

Answer 1

ECUACIONES CUADRÁTICAS

Coloquemos:

• "x" a la medida del lado del jardín pequeño
• "y" a la medida del lado del jardín grande

Entonces, expresamos "la suma de la cantidad de metros que mide el lado del jardín pequeño mas la cantidad de metros que mide el lado del jardín grande es igual a 21 metros" en función de "x" e "y":

$\large{\textsf{x + y = 21}}$

Ahora, expresamos "si multiplicamos esas dos medidas, el resultado es 80" :

$\large{\textsf{xy = 80}}$

Despejamos "x" en esta segunda expresión:

$\mathsf{x = \dfrac{80}{y}}$

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Reemplazamos este valor de "x" en la primera expresión:

$\underbrace{\mathsf{x}} +\ \mathsf{y = 21}\\\\\mathsf{\ \dfrac{80}{y} + y = 21}$

Multiplicamos por "y" toda la ecuación para eliminar la fracción:

$\mathsf{\dfrac{80(y)}{y} + y(y) = 21(y)}$

$\mathsf{80 + y^{2} = 21y}$

Ordenamos, pasamos todos los términos al primer miembro, igualando a 0:

$\mathsf{y^{2} - 21y + 80 = 0}$

Factorizamos. Encontramos dos números que multiplicados den +80 y sumados den -21, y agrupamos adecuadamente:

$\mathsf{(y - 16)(y - 5) = 0}$

Igualamos cada paréntesis a 0:

$\mathsf{y - 16 = 0}$                 $\mathsf{y - 5 = 0}$

      $\boxed{\mathsf{y = 16}}$                  $\boxed{\mathsf{y = 5}}$

Bien, entonces, el valor mayor corresponde a la medida del lado del jardín grande, y el menor valor corresponde a la medida del lado del jardín pequeño.

Así que:

• El lado del jardín pequeño mide 5 metros
• El lado del jardín grande mide 16 metros

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Ahora, hallamos el área de cada jardín. Como cada jardín es cuadrado, aplicamos el área del cuadrado, que es igual a elevar al cuadrado la medida del lado:

Área = (Lado)²

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Hallamos el área del jardín pequeño:

$\mathsf{Area_{Jardin\ peque\~{n}o}} = \mathsf{(5\ cm)^{2}}$

$\boxed{\mathsf{Area_{Jardin\ peque\~{n}o}} = \mathsf{25\ cm^{2}}}$

Hallamos el área del jardín grande:

$\mathsf{Area_{Jardin\ grande}} = \mathsf{(16\ cm)^{2}}$

$\boxed{\mathsf{Area_{Jardin\ grande}} = \mathsf{256\ cm^{2}}}$

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Pide la suma de áreas de ambos jardines:

25 cm² + 256 cm² = 281 cm²

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Respuesta. La suma de áreas de los dos jardines es igual a 281 cm².

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