Question

Cuantos lados tiene un polígono que tiene un total de 65 diagonales trazadas en conjunto de todos los vértices

Answer 1

Respuesta:

Un polígono con 4 lados, tiene 4 vértices. De cada vértice se puede trazar 4 - 3 diagonales. Osea que en total se pueden trazar 4 diagonales, pero resulta que solamente las diagonales trazadas desde el primer y segundo vértice son distintas (cuando trazas diagonales del tercer y cuarto vértices, son las mismas que ya trazaste): 2

Un polígono con 5 lados (pentágono) permite trazar 5 - 3 = 2 diagonales desde cada vértice, pero solo serán diferentes 2 trazadas desde el primer vértice, 2 trazadas desde el segundo vértice y 1 trazada desde el tercer vértice (cualquier otra se sobrepondra a una de estas). Es decir, serán 5 diagonales.

Un polígono de 6 vértices y 6 lados permite trazar 6 - 3 diagonales desde cada vértice, pero los diferentes serán: 3 desde el primer vértices, 3 desde el segundo vértice, 2 desde el tercer vértices y 1 desde el cuarto vértice. Es decir: 3 + 3 + 2 + 1 = 9 diagonales.

Un polígono de 7 vértices, permite trazar 7 - 3 = 4 diágonales desde el primer vértice, 4 diagonales diferentes desde el segundo vértice, 3 diferentes desde el tercer vértice, 2 diferentes desde el cuarto vértice y una más desde el quinto vértice : 4 + 4 + 3 + 2 + 1 = 14

Se puede demostrar que la serie es así:

Número de lados    número de diagonales

4                              2

5                              2+3 = 5

6                              5 +4 = 9

7                              9 + 5 = 14

8                             14 + 6 = 20

9                              20 + 7 = 27

10                            27 + 8 = 35

11                            35 + 9 = 44

12                            44 + 10 = 54

13                            54 + 11 = 65

Por tanto, la respuesta es 13.

Puedes también razonar que, habiendo n vértices, de cada vértice se pueden formar n - 3 diagonales, por lo que el total de diagonales será n*(n-3) pero hay que dividir entre 2 porque la diagonal de el vertice a al b es la misma que del b al a. Es decir, la fórmula para el número de diagonales es: n * (n -3) / 2 = 65

Puedes resolver esa ecuación, como ya sabes el resultado podemos solo verificar que se cumple: 13 * (13 -3) / 2 = 13 * 10 / 2 =  130 /2 = 65.

Por tanto, se ha verificado que la respuesta es 13.