10. La nota A menor de un piano tiene una frecuencia de 27,5 Hz. Si la tensión de la
cuerda de 2,00 m de largo, es de 308 Ny media longitud de onda ocupa la cuerda,
¿cuál es la masa de la cuerda?
Respuestas
Respuesta:
Las ondas estacionarias en una cuerda poseen una longitud de onda
\lambda = \frac{2L}{n}
siendo la longitud correspondiente al modo fundamental el caso n = 1, λ = 2L. La frecuencia correspondiente a esta longitud de onda es
v = \frac{\lambda}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{T}=\frac{v}{\lambda}=\frac{v}{2L}
Sustituyendo el valor de la velocidad para las ondas en una cuerda vibrante
f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{F_T}{\mu}}
A su vez, la densidad lineal de masa de una cuerda se puede expresar en términos de la densidad volumétrica del material
\mu = \frac{m}{L}=\frac{\rho V}{L}=\frac{\rho SL}{L}=\rho S = \frac{\pi \rho D^2}{4}
siendo S = πD2 / 4 la sección transversal del cable, supuesto circular. Llevando esto a la expresión de la frecuencia nos queda
f = \frac{1}{LD}\sqrt{\frac{F_T}{\pi\rho}}
Normalmente, lo que se desea conocer es la tensión a la que hay que someter la cuerda para obtener la frecuencia deseada, lo que nos da la fórmula del afinador de pianos
F_T=\pi\rho L^2D^2f^2\,
En la vida real, las cuerdas no se comportan según este modelo tan sencillo y la fórmula se convierte en
F_T=C\rho L^2D^2f^2\,
siendo C una constante empírica dependiente del piano y de la cuerda en cuestión. Se mantiene no obstante, el hecho de que la tensión es cuadrática con la frecuencia.
2.2 Longitud necesaria
Los siguientes apartados consisten en sustituir en la fórmula anterior.
Si conocemos la tensión, la densidad de masa, el diámetro y la frecuencia deseada, la longitud necesaria será (suponiendo la cuerda ideal)
L=\frac{1}{fD}\sqrt{\frac{F_T}{\pi\rho}} = \frac{1}{27.5}\mathrm{s}\times\frac{1}{1.224\times 10^{-3}\mathrm{m}}\times\sqrt{\frac{600\,\mathrm{N}}{\pi 7.85\,(10^{-3}\mathrm{kg})/(10^{-2}\,\mathrm{m})^3}}=4.63\,\mathrm{m}
Esta longitud es a todas luces excesiva. Es claro que para construir una cuerda de piano habrá que variar o su tensión o su grosor para que quepa dentro del armazón.
2.3 Tensión necesaria
Veamos si puede conseguirse la longitud adecuada cambiando la tensión. Para una longitud fijada de 1.1 m y el resto de los datos iguales que en el apartado anterior, la tensión necesaria es
T = \pi \rho L^2D^2f^2 = 33.8\,\mathrm{N}
Explicación: