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Conjunto potencia
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No debe confundirse con Potencia de un conjunto.
En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto:
{\displaystyle A=\{1,2,3\}}{\displaystyle A=\{1,2,3\}}
el conjunto potencia es:
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}}{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}\}}
El conjunto potencia de {\displaystyle A}A también se denomina conjunto de las partes de {\displaystyle A}A, o conjunto de partes de {\displaystyle A}A y se denota por {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}, donde {\displaystyle 2^{|A|}}{\displaystyle 2^{|A|}} es el cardinal de las partes de {\displaystyle A}A, es decir, {\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}.
Índice
1 Definición
2 Propiedades
2.1 Cardinal
3 Álgebras de Boole
4 Axioma del conjunto potencia
5 Referencias
Definición
El conjunto potencia de A es la clase o colección de los subconjuntos de A:
El conjunto potencia de {\displaystyle A}A (o conjunto de partes o conjunto de las partes) es el conjunto {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} formado por todos los subconjuntos de {\displaystyle A:}{\displaystyle A:}
{\displaystyle b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ cuando }}b\subseteq A}{\displaystyle b\in {\mathcal {P}}(A){\text{ cuando }}b\subseteq A}
Ejemplos
El conjunto potencia de A = {a, 2, c} es:
{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c\},\{2,c\},\{a,2,c\}\}}{\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{2\},\{c\},\{a,2\},\{a,c\},\{2,c\},\{a,2,c\}\}}
El conjunto potencia de B = { x } es:
{\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}}{\displaystyle {\mathcal {P}}(B)=\{\varnothing ,\{x\}\}}
Propiedades
El conjunto potencia de cualquier conjunto contiene al menos un subconjunto. Además, no es equipotente con la base.12
El conjunto vacío está en el conjunto potencia de cualquier conjunto:
{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para cualquier }}A}{\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para cualquier }}A}
Un conjunto cualquiera siempre es un elemento de su conjunto potencia:
{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para cualquier }}A}{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(A){\text{ , para cualquier }}A}
Cardinal
El número de elementos del conjunto potencia es precisamente una potencia del número de elementos en el conjunto original:
El cardinal del conjunto potencia de un conjunto finito A es 2 elevado al cardinal de A:
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|=2^{|A|}}
Esta relación es el origen de la notación 2A para el conjunto potencia. Una manera de deducirla es mediante los coeficientes binomiales. Si el conjunto A tiene n elementos, el número de subconjuntos con k elementos es igual al número combinatorio C(n, k). Un subconjunto de A puede tener 0 elementos como mínimo, y n como máximo, y por lo tanto:
{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}=2^{n}=2^{|A|}}{\displaystyle |{\mathcal {P}}(A)|={n \choose 0}+{n \choose 1}+\ldots +{n \choose k}+\ldots +{n \choose n}=2^{n}=2^{|A|}}
Esta relación puede demostrarse también observando que el conjunto potencia de A es equivalente al conjunto de funciones con dominio A y codominio {0, 1}, f : A → {0, 1}. Cada función corresponde entonces con un subconjunto, si se interpreta la imagen de un elemento como un indicador de si dicho elemento pertenece al subconjunto: 0 indica «no pertenece», 1 indica «pertenece». El número de estas funciones características de A es precisamente 2n, si |A| = n.
En el caso de un conjunto infinito la identificación entre subconjuntos y funciones es igualmente válida, y el cardinal del conjunto potencia sigue siendo igual a 2|A|, en términos de cardinales infinitos y su aritmética. El conjunto potencia siempre tiene un cardinal superior al del conjunto original, como establece el teorema de Cantor, por lo que nunca existe una aplicación biyectiva entre un conjunto y su conjunto potencia.
Explicación paso a paso:
espero que te ayude coronita