Si por una tubería de área 0.8m2 el agua fluye a una velocidad de 6m/s, con que
velocidad fluirá el agua si el área se reduce a 0.2m2.
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Ejemplos Ejemplo 1. Una manguera de agua de 2.00 cm. de diámetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., ¿cuál es la velocidad con la que el agua sale de la manguera? (1 L = 103 cm3) Solución: El área de la sección transversal de la manguera es 2 2 A = πr2 = π d = π 2.0 cm2 = π cm2 4 4 De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene L 20×103 cm3 Av = 20.0 = min 60.0 s 3 3 v = 20×10 cm =106 cm/s 28 2 (π cm )(60.0 s) Ejercicio: Si el diámetro de la manguera se reduce a 1.00 cm, y suponiendo el mismo flujo ¿cuál será la velocidad del agua al salir de la manguera? Respuesta: 424 cm/s Ejemplo 2. El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incompresible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presión P1 -P2. Solución:
2. Puesto que el tubo es horizontal, y1 = y2, la ecuación de Bernoulli aplicada a los puntos 1 y 2 produce P + 1 ρv = P + 1 ρv 2 2 1 1 2 2 2 2 v = A v Según la ecuación de continuidad se tiene que A1v1 = A2v2; o bien 2 P + 1 ρ A v = P + 1 ρv 2 A 2 v = A 2(P - P ) ρ(A - A ) v = A 2(P - P ) ρ(A - A ) 29 1 2 A 1 . Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior se obtiene 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 También se puede obtener una expresión para v1 utilizando este resultado y la ecuación de continuidad. Es decir, 1 2 1 2 2 2 1 2 Como A2 < A1, entonces P2 < P1. En otras palabras, la presión se reduce en la parte estrecha del tubo. Este resultado en cierto modo es análogo a la siguiente situación: Considérese un cuarto atestado de personas. Tan pronto se abre la puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presión) es menor cerca de la puerta donde el movimiento (flujo) es mayor. Ejemplo 3. Un tanque que contiene un líquido de densidad ρ tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 desde el fondo. El diámetro del agujero es pequeño comparado con el diámetro del tanque. El aire sobre el líquido se mantiene a una presión P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del líquido está a una distancia h arriba del agujero.
3. Solución: Debido a que A2 >> A1, el fluido está aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y considerando que en el agujero P1 = P0, se obtiene P + 1 ρv + ρgy = P + ρgy v = 2(P - P ) + 2gh 30 2 0 1 1 2 2 Pero y2 – y1 = h, de manera que 0 1 ρ El flujo de agua por el agujero es A1v1. Cuando P es grande comparada con la presión atmosférica P0 (el término 2gh puede ignorarse), la velocidad de salida del flujo es principalmente una función de P. Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces P = Po y v1 = 2gh En otras palabras, la velocidad de salida del flujo para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente desde una altura h. Esto se conoce como la ley de Torricelli. Ejemplo 4. Calcular la potencia de salida de un aerogenerador que tiene un diámetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10 m/s y una eficiencia total de 15%. Solución: Puesto que el radio del aspa es igual a 40 m, el área de la sección transversal del rotor es A = πr2 = π(40m)2 = 5.0 × 103 m2