Respuestas
➀ Factorar un Monomio:
En este caso se buscan los factores en los que se puede descomponer el término
15ab = 3 * 5 a b
➁ Factor Común Monomio:
En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos
Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común
a² + 2a = a ( a + 2 )
➂ Factor Común Polinomio:
x [ a + b ] + m [ a + b ]
En este caso en ambos términos el factor que se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio
x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )
➃ Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
ax + bx + ay + by =
[ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b)
Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)
➄ Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9
↓…………..↓
m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ]
➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)²
Nota:
Si el 2do. Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)²
➌ Ahora aplica la Regla del TCP
(m + 3)²
El Cuadrado del 1er Termino = m²
[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m
[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9
➍ Junta los Términos
m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla
➅ Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b) (a + b)
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2 binomios conjugados (mismos términos diferente signo)
a² - b² = (a - b) (a + b)
4a² - 9 = (2a - 3) (2a + 3)
➆ Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorar (a + b)² - c²
(a + b)² - c²
Nota: (a + b)² = (a + b) (a + b)
[(a + b) + c] [(a + b) - c]; quitamos paréntesis
(a + b + c) (a + b – c)
➇ Trinomio de la Forma; x² + bx + c
Factorar x² + 7x + 12
➊ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ x² ], que es el 1er termino del trinomio
(x.......) (x.......)
➋ Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y multiplicados me den 12
4 + 3 = 7
4 x 3 = 12
➌ Esos números son [ 4 ] y [ 3 ], ahora los acomodamos dentro de los paréntesis
(x + 4)(x + 3)
Esta será la Factorización: x² + 7x + 12 = (x + 4) (x + 3)
➈ Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorar 6x² - x – 2 = 0
Pasos:
➊ Vamos a multiplicar todos los términos del trinomio por el coeficiente de 1er , termino [ 6 ], en el 2do termino del trinomio, solo dejamos señalada la multiplicación
6x² - x – 2
36x² - [ 6 ] x – 12
➋ Abrimos 2 paréntesis, con las raíces de [ 36x² ], que es el 1er termino del trinomio equivalente
(6x.......) (6x.......)
➌ Basándonos en los coeficientes del 2do termino [ - 1 ] y en el 3er termino del trinomio [ - 12 ], vamos a buscar 2 numero que sumados me den [ - 1 ] y multiplicados [ - 12 ]
➍ Esos numero son [ - 4 y 3 ]
- 4 + 3 = - 1
[ - 4] [ 3 ] = - 12
➎ Ahora colocamos los números encontrados dentro de los paréntesis
(6x - 4) (6x - 3)
➏ Como se puede ver, los coeficientes, dentro de los binomios, son múltiplos, por lo que hay que reducirlos
(6x - 4) (6x - 3) = (3x - 2) (2x - 1)
Esta será la Factorización: 6x² - x – 2 = (2x+1) (3x-2)
➉ Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
============
a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la suma de las raíces de ambos términos (a + b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ - ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] El cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Diferencia de Cubos:
==============
a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera
El binomio de la resta de las raíces de ambos términos (a - b)
El cuadrado del 1er termino, [ a² ]
[ + ] el producto de los 2 términos [ ab ]
[ + ] el cuadrado del 2do termino; [ b² ]
Respuesta:
Caso #1 - Factoreo por factor común
Cuando en los diversos términos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del polinomio entre el factor común.
Por ejemplo
Otros ejemplos: a) 8X + 2Y = 2 * (4X + Y) (En este caso el factor común es 2)
b) a2 + 2a = a(a+2)
c) 10b + 30ab2 = 10b(1 + 3ab)
d) 10a2 + 5a + 15a3 = 5a(2a + 1 + 3a2)
e) 5a3b2x + 15a4bx2 − 35a2b2x4y5 = 5a2bx(ab + 3a2x − 7bx3y5 )
Caso #2 - Factoreo por agrupamiento
Algunas veces en un polinomio los términos no contienen ningún factor común, pero pueden ser separados en grupos de términos con factor común.
Este método consiste en formar grupos, los más adecuados, para factorizar cada uno como más convenga en cada caso y lograr finalmente la factorización total de la expresión.
Ejemplos: Factorizar:
a) 5a + 5b + ax + bx . Agrupando los términos que tengan algún factor común se tiene: 5(a+b)+ x(a+ b) = (a +b)(5 + x) o también a(5+ x)+ b(5+ x) = (a +b)(5 + x)
b) x2 +ax+bx+ab= x(x+a)+b(x+a)=(x+a)(x+b)
c) 8ax−bx+8ay−by) =8a(x+y)−b(x+y)=(x+y)(8a −b)
Caso #3 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto.
En este caso se tiene un polinomio de grado dos y cuyas raíces están en el campo de los números reales, por ejemplo.
X^2 ± 2*a*X + a^2 = (X ± a)^2
Caso #4 - Factoreo por fiferencia de cuadrados.
Este es el caso de un producto de dos binomios cuya diferencia es solo el signo del segundo término.
(a + b) * (a – b) = a^2 – b^2
Caso #5 - Factoreo por Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracción.
Este caso ocurre cuando se posee un trinomio cuadrado perfecto en el que no es posible obtener dos raíces iguales y en el campo de los números reales. Se suma y resta la cantidad necesaria para obtener la forma del trinomio deseado.
X^2 + 2X – 5 = (X^2 + 2X + 2) – 2 – 5 = (X + 1)^2 – 7
Caso #6 - Factoreo por Trinomio de la forma X^2 + BX + C
En este caso de factorización se tiene un trinomio que tiene raíces reales pero que no son ni repetidas ni siguen el del caso anterior. Para ello se deben conseguir las raíces del polinomio.
X^2 – 5X + 6 = (x – 3) * (x + 2)
Caso #7 - Factoreo por Suma o diferencia de potencias.
Se trata de descomponer factores que compartan una misma potencia.
X^3 + 27 = X^3 + 3^3 = (X + 3) * (X^2 – 3X + 9)
Caso #8 - Factoreo por trinomio de la forma aX^2 + bX + c.
Para este caso se puede factorizar utilizando la ecuación de la resolvente la cual es la siguiente:
X = - b ± √b^2 – 4*a*c / 2*a
4X^2 + 12X + 9
X = - 12 ± √(12)^2 – 4*4*9 / 2*4
X1 = X2 = -1,5
4X^2 + 12X + 9 = (X + 1,5) * (X + 1,5)
Caso #9 - Factoreo por Suma y diferencia de cubos.
Son de la siguiente forma:
a^3 ± b^3 = (a ± b) * (a^2 ± a*b + b^2)
Caso #10 - Factoreo por raíces de un polinomio.
Explicación paso a paso: