1.Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0, entonces la ecuación de la circunferencia concéntrica de radio doble del radio anterior es:
a) (x-5)² + (y+3)² =52
b) (x+5)² + (y-3)² =26
c) (x+5)² + (y-3)² =52
Respuestas
Explicación paso a paso:
Primero debemos transformar la ecuación x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0 a la forma (x - h)² + (y - k)² = r², donde (h,k) son las coordenadas del centro de la circunferencia y r es el radio de la misma. Esto lo haremos por el método de completando cuadrados para tener dos Trinomios Cuadrados Perfectos, uno para absisas y otro para ordenadas. Entonces:
x² + y² + 10x – 6y + 21 = 0
x² + 10x + y² – 6y = - 21
[x² + 10x + (10/2)²] + [y² - 6y + (-6/2)²] = - 21 + (10/2)² + (-6/2)²
(x² + 10x + 5²) + (y² - 6y + (-3)²) = -21 + 5² + (-3)²
(x + 5)² + (y - 3)² = -21 + 25 + 9
(x + 5)² + (y - 3)² = 13
Con esto deducimos que el centro está en C(-5, 3) y el radio es √13.
Ahora debemos encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica (mismo centro), pero con el doble del radio. Entonces llamaré al nuevo radio con la letra R:
R = 2r = 2√13
R² = (2√13)² = (4)(13)
R² = 52
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia quedaría:
(x + 5)² + (y - 3)² = R²
(x + 5)² + (y - 3)² = 52 ====> Solución: c)