Question

Como puedo saber cuantas soluciones tiene una ecuación ??

Answer 1

Toda ecuación SIEMPRE tiene tantas soluciones como el grado que tenga. En tu caso, de cuarto grado, tiene necesariamente cuatro soluciones. A veces son soluciones dobles, triples, etc. Si hay soluciones complejas, siempre son pares de soluciones complejas conjugadas. 

x^4+px^2+q=0 
Cambio de variable: u=x^2; reescribo: 
u^2+pu+q=0; aplico Baskara: 
[-p+-√(p^2-4q)] / 2 
u=[-p+√(p^2-4q)] / 2; o u=[-p-√(p^2-4q)] / 2 

Hasta aquí observamos que hay APARENTEMENTE dos soluciones, PERO cuando devolvemos la variable observamos: 
x^2=[-p+√(p^2-4q)] / 2; despejamos x: 
x=+√{[-p+√(p^2-4q)] / 2}; y también: x=-√{[-p+√(p^2-4q)] / 2} 

x^2=[-p-√(p^2-4q)] / 2; despejamos x: 
x=+√{[-p-√(p^2-4q)] / 2}; y también: x=-√{[-p-√(p^2-4q)] / 2} 

Con lo que obtenemos las cuatro soluciones posibles. 

Ahora, si q=0: Reemplazo en las cuatro soluciones: 
x=+√{[-p+√(p^2-0)] / 2}; x=0 
x=-√{[-p+√(p^2-0)] / 2}; x=0 
x=+√{[-p-√(p^2-0)] / 2}; x=√(-2p)/2); x=i√p 
x=-√{[-p-√(p^2-0)] / 2}; x=-√(-2p)/2); x=-i√p 


Y si q<0: No existen inconvenientes, ya que: (p^2-4q); el radicando, será positivo. 
En cambio, si 4q>p^2, el radicando será negativo y por lo tanto el resultado imaginario (será una raíz compleja). 

Otra forma de razonar tu ecuación cuártica con q=0: 
x^4+px^2=0; factorizo: 
x^2(x^2+p); x puede valer 0 o el paréntesis puede valer 0: 
x^2=0; x=+-√0; con lo que ya obtengo dos soluciones (aunque ambas tienen el mismo valor): 
x^2+p=0; x^2=-p; x=+-√-p; 
x=+i√p; o: x=-i√p; con lo que obtengo dos complejos conjugados (la parte real es igual a cero). 
En resumen: cuatro resultados posibles: uno doble (x=0) y dos complejos conjugados.