Question

Un CD de 5 cm de radio gira a una velocidad de 2700 r.p.m. Si tarda 12 (s) en pararse. Calcula la aceleración angular y tangencial

Answer 1

La aceleración angular del CD es de -23.56 rad/s².

La aceleración tangencial es de -1.178 m/s²

Solución

Se trata de un problema de movimiento circular uniformemente variado,

El movimiento circular uniformemente variado (MCUV) ocurre cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular incrementando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo (t).

Donde la partícula se mueve con aceleración constante

El desplazamiento de la partícula es más veloz o más lento según transcurre el tiempo.  

Si la velocidad angular aumenta, la aceleración angular será positiva, donde tendríamos un caso de movimiento circular uniformemente acelerado. Por el contrario  si la velocidad angular disminuye, la aceleración  angular será negativa, y estaríamos en presencia de un caso de movimiento circular uniformemente retardado

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante

Solución

Convertimos las revoluciones por minuto (R.P.M.) a radianes por segundo

$\boxed{\bold{\omega= \left(\frac{2700 \ \not rev }{1 \not min}\right) \left(\frac{2\ \pi \ rad }{1 \ \not rev}\right) \left(\frac{1 \ \not min }{ 60 \ s }\right) = \frac{2 \ \pi \ 2700}{60} \ \frac{rad}{s} }}$

$\boxed{\bold{\omega= \frac{2 \ \pi \ 2700}{60} \ \frac{rad}{s} = \frac{\not 2 \ \pi \ 2700}{\not 2 \ . \ 30} \ \frac{rad}{s } = \frac{ \ \pi \ 2700}{ 30} \ \frac{rad}{s } }}$

$\boxed{\bold{\omega= \frac{ \ \pi \ 2700}{ 30} \ \frac{rad}{s } = \frac{ \ \pi \ \not30 \ . 90}{ \not 30} \ \frac{rad}{s } = 90 \ \pi \ \frac{rad}{s } }}$

Donde como el CD se detiene a los 12 segundos la velocidad angular final será igual a cero    

$\textsf{Velocidad angular inicial } \ \ \ \bold { \omega_{0} = 90 \ \pi \ rad/s }$

$\textsf{Velocidad angular final } \ \ \ \ \ \bold { \omega_{f} = 0 \ rad/s }$

$\textsf{Tiempo de variaci\'on de la velocidad angular } \ \ \ \bold { t = 12 \ s }$                    

Calculamos la aceleración angular en rad/s²

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{\omega_f-\omega_0}{t}}}$  

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{0\ \frac{rad}{s} -90 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{12 \ s}} }$

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{ -90 \ \pi \ \frac{rad}{s} }{12 \ s}} }$

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{ \not6\ . \ -15\ \pi \ \frac{rad}{s} }{\not6 \ . \ 2 \ s}} }$

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{ -15\ \pi \ \frac{rad}{s} }{ 2 \ s}} }$

$\large\boxed{\bold{\alpha=\dfrac{ -15\ \pi }{ 2 } \ \frac{rad}{s^{2} } } }$  

$\large\boxed{\bold{\alpha= -23.56 \ \frac{rad}{s^{2} } } }$            

La aceleración angular del CD es de -23.56 rad/s²

La aceleración angular es negativa por tanto, el desplazamiento angular ocurre más lento según transcurre el tiempo. El cuerpo está desacelerando y finalmente se detiene

Se trata de un movimiento circular uniformemente retardado

Hallamos la aceleración tangencial

La aceleración tangencial se presenta cuando la velocidad tangencial de un cuerpo cambia, lo que lleva a que se origine un movimiento circular uniformemente variado

La relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular en este movimiento es

$\large\boxed{ \bold {a_{T} =\alpha \ . \ r }}$

Donde el CD tiene un radio de 5 centímetros

Convertimos los centímetros a metros  

$\bold{r= 5 \ \not cm \ . \left(\frac{1 \ m }{100 \not cm}\right)= 0.05 \ m }$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold {a_{T} =\ -23.56 \ \frac{rad}{s^{2} }\ . \ 0.05 \ m }}$

$\large\boxed{ \bold {a_{T} =-1.178\ m/s^{2} }}$

La aceleración tangencial es de -1.178 m/s²

La aceleración tangencial es negativa. A riesgo de insistir esto ocurre porque el cuerpo tiene un movimiento retardado o desacelerado como se mencionó anteriormente