Question

Me podrían hacer el favor de resolver este problema se los agradecería muchooo

Answer 1

Bueno se trata de una derivada..entonces algo así.....

$f(x)=5 x^{3}-2 x^{2} +x \\ \lim_{h \to \(0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ \lim_{h \to \(0}f(x) = \lim_{h \to \(0} \frac{ 5(x+h)^{3}-2(x+h)^{2}+(x+h)- (5 x^{3}-2 x^{2} +x) }{h} \\ \lim_{h \to \(0} \frac{ 5(x^{3}+3 x^{2} h+3x h^{2}+ h^{3}) -2(x^{2}+2xh+ h^{2}) +(x+h)- (5 x^{3}-2 x^{2} +x) }{h} \\ \lim_{h \to \(0} \frac{ 5x^{3}+15 x^{2} h+15x h^{2}+ 5h^{3} -2x^{2}-4xh-2 h^{2} +x+h- 5 x^{3}+2 x^{2} -x }{h}$

ahora vamos a simplificar terminos semejantes 

$\lim_{h \to \(0} \frac{ 15 x^{2} h+15x h^{2}+ 5h^{3} -4xh-2 h^{2}+h }{h}$

y si te fijas podemos sacar de factor común una "h" en el denominador y simplificarla con el denominador y ahora si podemos desacernos de la h del denominador que es la que nos fastidia puesto que se crea una indeterminación..

$\lim_{h \to \(0} \ 15 x^{2}+15x h+ 5h^{2} -4x-2 h^{1}+1$
y ya ahora si podemos realizar éste límite puesto que ya no hay la indeterminación del comienzo...

$\lim_{h \to \(0} \ 15 x^{2}+15x h+ 5h^{2} -4x-2 h^{1}+1=15 x^{2} +15x(0)+5(0 ^{2} )+ \\ 5( 0^{2} ) -4x-2(0)+1=15 x^{2} -4x+1$

y ese sería la derivada de esa función por suerte, ya sabemos como derivar un polinomio sin necesidad de usar la definición pero, ésto muchas veces te salva en una prueba...si no recuerdas como derivar algo, la desventaja es que debemos ser hábiles para poder buscar la forma de eliminar la "h" del denominador...aveces tendrás que racionalizar, o sumar y restar algo...en fin...