Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
Suma de Riemann
"Con este método nos podemos aproximar al área bajo la curva, para ello lo que hacemos es dividirla en varias formas (por ej: rectangulitos)"
Sabemos que el intervalo [a,b ] tendrá de longitud b - a. Si a esta longitud la partimos en "n" intervalitos, obtenemos:
Δₓ= b-a/n
La altura será la función evaluada en algún xᵢ determinado, es decir f(xᵢ)
El área del rectángulo i-esimo será:
Δₓ × f(xᵢ)
Ahora sumando todos los intervalos obtenemos:
A= ∑ Δₓ × f(xᵢ)
*La sumatoria va desde i= 1 hasta algún n que determinemos"
Cuando n se va haciendo mas y mas grande, el area se va haciendo mas exacta, lo que obtenemos:
A= Lim ×∑× Δₓ×f(xᵢ)
n→∞
Todo esto en caso que f sea continua y el limite por supuesto exista
Ahora si vamos al ejercicio
f(x)= x²-4 en el intervalo [-2,2]
Calculemos Δₓ
Δₓ=
Δₓ=
Ahora f(xᵢ), xᵢ es un valor de abscisa dentro del intervalo i-esimo
Una forma de calcularlo es:
xᵢ= a+ i×Δₓ
xᵢ=
xᵢ=
Por lo tanto f(xᵢ) será:
f(xᵢ) =
Reemplazando:
A= Lim ∑ 4/n×{(4i/n - 2)² - 4}
n →∞
A= Lim ∑ 4/n × (16i²/n² - 16i/n )
n →∞
A= Lim ∑ (64i²/n³ - 64i/n²)
n→∞
Por propiedad de las sumatorias
A= Lim ∑(64i²/n³) - ∑(64i/n²)
n→∞
Como 64/n³ es un valor constante, usamos otra vez propiedades de la sumatoria y la sacamos afuera
A= Lim 64/n³ × ∑i² - 64/n²× ∑i
n→∞
Aplicando la formula de la sumatoria de i² e i obtenemos:
A={Lim 64/n³ × (1/6×n×(n+1)× (2n+1)) - 64/n²× (n(n+1))/ 2}
n→∞
A= {Lim [32×(n+1)×(2n+1)]/3n² - [32×(n+1)]/n }
n→∞
Ahora debemos aplicar propiedades de los limites para así simplificar, para no hacer de esto muy largo, omitiré los cálculos de los limites
A= 64/3 - 32
A= -32/3
Calculamos su valor absoluto
A= 32/3 Solución
Saludoss