Question

Cual es la integral de secante cubica de x??? (Sec^3 x)

Answer 1

∫ (secx)^3 dx = ∫ secx (secx)^2 dx
∫ (secx)^3 dx = ∫ secx [ (tanx)^2 + 1] dx
∫ (secx)^3 dx = ∫ secx (tanx)^2 dx + ∫ secx dx

para integrar : ∫ secx (tanx)^2 dx
por la formula de integracion por partes:
∫ UdV = UV - ∫ Vdu
tomando:
U = tan x .......................dV = secx tanx
dU = (secx)^2 .............. V = secx

por lo tanto tenemos:

∫ (secx)^3 dx = tanx secx - ∫ (secx)^3 + ∫ secx dx
∫ (secx)^3 dx + ∫ (secx)^3 = tanx secx + ∫ secx dx
2 ∫ (secx)^3 dx = tanx secx + ln (secx + tanx) + c
∫ (secx)^3 dx = 1/2 [ tanx secx + ln (secx + tanx) ] + c

Answer 2

    ∫sec³x dx = Ln I secx +tanx I + (1/2)*tan²x +C .

  La integral  ∫sec³xdx , se resuelve cambiando la sec³x por secx * sec²x y luego se sustituye sec²x por 1+ tan²x , se separan las integrales y una es inmediata y la otra se resuelve por método de sustitución de la siguiente manera :

   ∫ Sec³x dx = ∫ secx * sec²x dx = ∫ secx * ( 1+ tan²x ) dx =

   ∫ secx dx + ∫ secx* tan²x dx =

   ∫secx * tan²x dx = ∫ secx*tanx*tanx dx = ∫secx*tanx * u * du/secx*tanx

    método de sustitución :

    u = tanx

    du = secx*tanx dx

    dx = du/secx*tanx

    ∫udu   = u²/2 + C  = tan²x/2 + C

   Entonces, la integral tiene como resultado:

    ∫sec³x dx = Ln I secx +tanx I + (1/2)*tan²x +C .