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Respuesta:
El resto o residuo de la división de un polinomio P(x) por un polinomio de la forma x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a.
Por ejemplo, dividamos P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 entre x - 3 utilizando la regla de Ruffini:
\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline 56\end{array}
Así, el cociente de la división es x^3 + 3x^2 + 6x + 18, mientras que el residuo es 56. Por otro lado, si evaluamos P(x) en 3, obtenemos:
\displaystyle P(3) = 3^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Nota: Observemos que si P(a) = 0, entonces significa que el residuo es 0. En otras palabras:
\displaystyle \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + 0 = Q(x)
Si multiplicamos ambos lados por x - a tenemos que
\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x)
Por lo tanto, x - a es un factor de P(x). Este resultado se conoce como el teorema del factor.
Teorema del factor
Teorema: El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(a) = 0.
Como ejemplo, consideremos el polinomio P(x) = x^2 - 5x + 6. Notemos que
\displaystyle P(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 0, \qquad P(3) = 3^2 - 5(2) + 6 = 0
por lo tanto, P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Además, x = 2 y x = 3 son raíces de P(x).
Nota: Si P(x) es un polinomio de grado n y se divide por x - a, entonces el resultado tiene la forma:
\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x) + r
donde r es constante y se conoce como residuo, mientras que Q(x) es un polinomio de grado n - 1.
Teorema Fundamental del Álgebra
Teorema: Un polinomio P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1 x + a_0 de grado n y con coeficientes reales a_n, \dots, a_0 \in \mathbb{R} tiene exactamente n raíces, las cuales pueden ser reales o complejas.
Nota: Los polinomios reales tienen n raíces, sin embargo, es posible que ninguna sea real. Cuando ninguna raíz es real entonces el polinomio P(x) no se puede factorizar en factores lineales.
Nota: Recordemos que factorizar un polinomio P(x) en factores lineales significa escribir P(x) de la forma
\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)
en donde a_1, a_2, \dots, a_n son las raíces de P(x).
Teorema de la Raíz Racional
Teorema: Sea P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 un polinomio con coeficientes a_0, a_1, \dots, a_n que son enteros. Si q es una raíz racional de P(x), entonces q tendrá la forma
\displaystyle q = \pm \frac{a}{b}
donde a es un factor de a_1 y b es un factor de a_n.
Nota: Este teorema, junto con el teorema del factor, nos ayudan a encontrar raíces rápido. Primero enlistamos todas las posibles raíces racionales q de P(x), luego evaluamos P(q). Si P(q) = 0, entonces sabremos que x - q es un factor de P(x). Describiremos algunos ejemplos en la sección de ejemplos.
Nota: Este teorema sólo nos dice la forma que tendrán las raíces racionales. Es posible que un polinomio no tenga ninguna raíz racional como en el caso de P(x) = x^2 - 2, cuyas raíces son x = \sqrt{2} y x = -\sqrt{2}.
Nota: Si a_n = 1, entonces el polinomio se conoce como mónico. En este caso, el único factor de a_n es 1, por lo tanto, las raíces tienen la forma
\displaystyle q = \pm \frac{a}{1} = \pm a
donde a es un factor de a_0.