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En Mátemáticas empleamos diversos conjuntos de números, los más elementales son:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los números naturales, o números que sirven para contar.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... } . El conjunto de los numeros enteros, o números que sirven para designar cantidades enteras (positivas o negativas).
Q = {...., -7/2,..., -7/3, ..., -5/4,... -5/1, ...0, ..., 2/133, ... 4/7 ... } . El conjunto de los numeros racionales, o números que pueden ser expresados como un cociente (quotient) entre dos enteros, fracción, p/q. Observen que algunos números con infinitos decimales tal como el 2,33333... pertenece a este conjunto, puesto que: 2,33333... = 7/3.
No obstante, en Q no se hallan algunos números como 1,4142136... (raíz cuadrada de 2) , o el 3,141592... (el número ¶ ) que poseen infinitos decimales pero no pueden expresarse en la forma p/q. A estos números se les llama "números irracionales".
R = Q U {"números irracionales"} . El conjunto de los números reales, formado por la unión de Q y de todos los números irracionales. Este conjunto suele denominarse recta real , pues los puntos de una recta pueden ponerse en correspondencia con los infinitos números de R.
Segmento de una recta, [a, b], son todos los números reales comprendidos entre a y b, es decir, los números x tales que son mayores (o iguales) a "a" y menores (o iguales) a "b".
5.2 Función (de una variable real).
Por ahora consideraremos el conjunto R, o bien subconjuntos de R, para dar la definición de función de una variable.
Una función de una variable es una aplicación de R (o un subconjunto de R) en R, tal que a cada número real se le hace correspoder un único número de R, mediante una expresión matemática. Por ejemplo:
f : R ----> R
x ----> x² + 1
En este ejemplo tenemos definida la función f(x) = x² + 1 (expresión abreviada), o bien y = x² +1. En esta función se hace corresponder al número -4 el 17, al -3 el 10, al -2 el 5, al 0 el 1, etc.
Lo cual se expresa: f(-4) = (-4)²+1 = 17;
f(-3) = (-3)²+1= 10;
f(-2) = (-2)²+1 = 5;
f(0) = 0²+1 = 1
A los números 17, 10, 5, 1 ... se les llama "imágenes por f" respectivamente de los valores -4, -3, -2, 0, ...
Esta función puede representarse mediante un gráfico, colocando en un eje horizontal los valores posibles para la variable x (todo el conjunto R), y colocando un punto para cada una de sus imágenes. En este caso tendremos la gráfica de y = x² + 1:
funcion1.gif (676 bytes)
5.3 Conjuntos notables para una función.
Dada una función, y = f(x), son destacables dos conjuntos: (1) Dominio de definición de la función, (2) Conjunto imágen de f. El primero está formado por todos los números x que tienen imágen para la función f, mientras que el segundo está compuesto por todos los números y que son alguna vez imágen de algún x para la función f.
Para el caso de la función y = x² + 1 ambos conjuntos (dominio y conjunto imágen) son todo R, pero esto no siempre es así. Por ejemplo, para la función:
form1.gif (973 bytes)
El valor x = 1 no tiene imágen, puesto que 5/0 no se halla definido en R, y en este caso el dominio de esta función es todo R excepto el número 1 (matemáticamente se expresa: R \ {1}.
Por otra parte, nosotros podemos definir una función y = x² + 1 pero cuyo dominio fuera sólo el intervalo [-1, 1], en este caso la gráfica de la función debería restringirse en el eje x a ese dominio [-1, 1], y no a todo R como la función que hemos dibujado anteriormente.
Dada una función y = f(x), el conocimiento de estos dos conjuntos, dominio y conjunto imágen, es la primera cuestión que uno debe plantearse para hacerse una idea de la gráfica -y por tanto del comportamiento- de dicha función.
5.4 Funciones elementales.
En Cálculo se utilizan fundamentalmente unas pocas funciones, llamadas funciones elementales, a partir de ellas se pueden construir las funciones compuestas cuyo número es infinito. Conviene, pues, conocer a fondo estas funciones elementales. Aquí las hemos dividido en cuatro grupos.Explicación paso a paso: