Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)
Respuestas
Respuesta: y² + 2e^x [ x - 1] + 1 = 0
Explicación paso a paso:
xdx + ye^(-x) dy = 0, y(0) = 1
Entonces, al trasladar ye^(-x) dy al segundo miembro , resulta:
xdx = - ye^(-x) dy
Al dividir en ambos miembros entre e^(-x), se obtiene:
[x / e^(-x)] dx = -y dy
x e^x dx = - y dy
Al integrar en ambos miembros, tenemos:
∫x e^x dx = ∫- y dy .................... (1)
Se hace la integral del miembro izquierdo por partes.
Se aplica la siguiente fórmula:
∫u dv = u . v - ∫v du ................ (2)
Sea u = x ; dv = e^x dx
Entonces, du = dx ; v = ∫e^x dx
⇒ u = x ; v = e^x
Al sustituir en (2), se obtiene:
∫x e^(x) dx = x . e^x - ∫ e^x dx
= x . e^x - [ e^x + C ]
= e^x [ x - 1] + C1
En el miembro derecho de (1), se tiene:
∫- y dy = - y²/2 + C2
Entonces, nos queda:
e^x [ x - 1] + C1 = - y²/2 + C2
-e^x [ x - 1] + C1 = y²/2 + C2
y²/2 + e^x [ x - 1] + C = 0
Al multiplicar por 2 para eliminar el denominador. resulta:
y² + 2e^x [ x - 1] + C = 0
Se utilizan ahora las condiciones iniciales: y(0) = 1
1² + 2.e^0 [ 0-1] + C = 0
1 + (-2) + C = 0
- 1 + C = 0
C = 1
La solución buscada es :
y² + 2e^x [ x - 1] + 1 = 0