Question

Una escalera de 12 m se apoya sobre la pared, formando un ángulo de 42° con el piso. Calcule la medida de la proyección de la escalera con el piso.

Answer 1

La proyección de la escalera con el piso mide aproximadamente 8,918 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Solución

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado AB que equivale a la longitud de la escalera, el lado AC que representa la medida de la proyección de la escalera con el piso, el lado BC que es la pared en donde se apoya la parte superior de la escalera. Donde el ángulo de elevación de 42° está conformado por la longitud de la escalera y su base inferior con el piso

Donde se pide calcular:

La medida de la proyección de la escalera con el piso

Esto se puede observar en al gráfico adjunto, además del planteo y resolución del ejercicio.

Conocemos la longitud de la escalera y de un ángulo de elevación de 42°

• Longitud de la escalera = 12 metros

• Ángulo de elevación = 42°

• Debemos hallar la medida de la proyección de la escalera con el piso

Si el coseno de un ángulo α se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa

Como sabemos el valor de la hipotenusa (longitud de la escalera), asimismo conocemos un ángulo de elevación de 42° y debemos hallar la medida de la proyección de la escalera con el piso, relacionamos los datos que tenemos con el coseno del ángulo α

Planteamos

$\boxed { \bold { cos(42)^o = \frac{ cateto \ adyacente }{ hipotenusa } }}$

$\boxed { \bold { cos(42)^o =\frac{proyeccion\ escalera \ piso }{ longitud\ de \ la \ escalera } }}$

$\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = longitud\ de \ la \ escalera \ . \ cos(42)^o }}$

$\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = 12\ metros \ . \ cos(42)^o }}$

$\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso = 12\ metros \ . \ 0.7431448254773 }}$

$\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso \approx \ 8,9177379\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { proyeccion\ escalera \ piso \approx \ 8,918\ metros }}$

La proyección de la escalera con el piso mide aproximadamente 8,918 metros