Una ONG que se autofinancia posee una empresa de bebidas refrescantes.
De entre los refrescos que fabrica, los que más se venden son Maná y
Vital. Un litro del primero contiene 30 cl de extracto de cola, 10 cl de
ácido cítrico y el resto es agua carbonatada; un litro del segundo contiene
10 cl de extracto de cola, 20 cl de ácido cítrico y el resto es, también, agua
carbonatada. Se sabe que la empresa dispone en sus cubas de 3 600 l de
extracto de cola y de 3 200 l de ácido cítrico. La venta de 1 l de Maná
produce un beneficio de 0,2, mientras que el beneficio por la venta de 1 l
de Vital es de 0,1. ¿Cuántos litros de cada refresco debe preparar la
empresa para que el beneficio sea máximo?
Respuestas
Respuesta:
- En primer lugar, se debe organizar en forma de tabla la información contenida en el enunciado:
Beneficio
- Sea x los litros de Maná e y los de Vital que se deben preparar. El beneficio obtenido por la venta de estos litros de refresco será:
Z = ………..
El objetivo del problema es maximizar esta función, es decir, hallar x e y para que z tome el valor máximo. Pero x e y no pueden tomar cualquier valor, sino que están sujetas a unas restricciones:
• La cantidad de extracto de cola utilizada en la fabricación de x litros de Maná e y litros de Vital ha de ser, como máximo, de 3600 L.
• La cantidad de ácido cítrico utilizada en la fabricación de x litros de Maná e y litros de Vital ha de ser, como máximo, de 3200 L
• Además, x e y no pueden tomar valores negativos.
Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal, denominada función objetivo, sujeta a una serie de restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales.
Los métodos para resolver un problema de programación lineal pueden ser extremadamente complejos. Sólo en el caso de dos variables pueden determinarse con relativa facilidad por el método gráfico y algebraico.
Método de resolución algebraico
Puesto que la solución del problema, si existe, ha de ser solución del sistema de inecuaciones formado por las restricciones, se debe resolver en primer lugar dicho sistema.
La región del plano obtenida se denomina región factible. Ésta puede ser acotada o no.
Se puede demostrar que la solución del problema se encuentra siempre en la frontera de la región factible. Para encontrar dicha solución se debe hallar los vértices de esta región y calcular el valor de la función objetivo en cada uno de ellos.
El vértice en que toma el valor extremo es la solución del problema. Si la función es máxima (o mínima) en dos vértices, la solución óptima se sitúa en cualquiera de los puntos del segmento que los une.
Los pasos que se deben seguir para hallar analíticamente la solución de un problema de programación lineal en dos variables son:
- resolver el sistema de inecuaciones formado por las restricciones para hallar la región factible.
- Obtener los vértices de la región factible.
- Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para determinar en cuál de ellos toma el valor máximo o mínimo.
Resolución del problema
Se debe maximizar la función objetivo:
sujeta a las restricciones:
- Se resuelve el sistema de inecuaciones: