Question

ECUACIONES DIFERENCIALES
Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo) (y/x+6x)dx+(Inx-2)dy=0

Answer 1

$( \frac{y}{x} + 6x)dx + ( ln(x) - 2)dy = 0$

Primero verificamos que sea exacta.

$p (x.y) = 6x + \frac{y}{x} \\ q(x.y) = ln(x) - 2$

Derivamos con respecto a "y" lo que está junto a dx,

y con respecto a "x" lo que está junto a dy.

$\frac{dp(x.y)}{dy} = \frac{1}{x} \\ \frac{dq(x.y)}{dx} = \frac{1}{x}$

Definimos f(x,y) tal que:

$\frac{df(x.y)}{dx} = p(x.y) \\ \frac{df(x.y)}{dy} = q(x.y)$

Entonces la solución vendrá Dada por

$f(x.y) = c1$

Dónde c1 es una constante arbitraria.

Integremos

$\frac{df(x.y)}{dx} con \: respecto \: a \: x$

$\frac{df(x.y)}{dx} = 6x + \frac{y}{x} \\ df(x.y) = (6x + \frac{y}{x} )dx \\ f(x.y) = 3 {x}^{2} + y ln(x) + g(y)$

Dónde g(y) es una constante arbitraria de y.

Diferenciamos f(x,y) con respecto a y para encontrar g(y)

$\frac{df(x.y)}{dy} = \frac{d(3 {x}^{2} + y ln(x) + g(y)) }{dy } \\ f(x.y) = ln(x) + \frac{dg(y)}{dy}$

Sustituimos...

$\frac{df(x.y)}{dy} = q(x.y) \\ ln(x) + \frac{dg(y)}{dy} = ln(x) - 2 \\ \frac{dg(y)}{dy} = - 2$

Ahora lo integramos con respecto a y

$\frac{dg(y)}{dy} = - 2 \\ dg(y) = - 2dy \\ g(y) = - 2y$

Sustituimos g(y) en f(x,y)

$f(x.y) = 3 {x}^{2} + y ln(x) - 2y$

Y por último sustituimos f(x,y) en f(x,y)=c1

$3 {x}^{2} + y ln(x) - 2y = c1 \\ 3 {x}^{2} + y( ln(x) - 2) = c1 \\ y = \frac{c1 - 3 {x}^{2} }{ ln(x) - 2 }$

Espero te haya ayudado.