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Respuesta dada por:
2
Sean a, b, c, d números reales en el intervalo [- /2,/2], tales quesen a + sen b + sen c + sen d = 1.cos2a + cos2b + cos2c + cos2d 10/3.Demuestre que a, b, c, d [0,/6].
obtendremos, después de un corto cálculo, quex1 + y1 + z1 + w1 = 1.x12 + y12 + z12 + w12 1/3,Por lo tanto, se concluye que x1 0 y de esto que x 1/2. De igual forma obtenemos que y 1/2, z 1/2 y w 1/2.
Hagamos el siguiente cambio de variables
x = sen a, y = sen b, z = sen c, w = sen d.De la muy conocida fórmula cos2a = 1 - 2 sen 2a, se sigue que cos2a = 1 - 2x2. De la misma forma se obtienen expresiones similares para los otros términos. Sustituyendo en el sistema original, obtenemos que
x + y + z + w = 1.x2 + y2 + z2 + w2 1/3,donde x, y, z, w [- 1, 1].Lo que se debe mostrar es que x, y, z, w [0, 1/2].
Por el momento supondremos que ya hemos demostrado que nuestros números son no negativos, entonces restaría ver que ellos son menores que 1/2. En efecto, si hacemos los cambios de variables siguientes
obtendremos, después de un corto cálculo, quex1 + y1 + z1 + w1 = 1.x12 + y12 + z12 + w12 1/3,Por lo tanto, se concluye que x1 0 y de esto que x 1/2. De igual forma obtenemos que y 1/2, z 1/2 y w 1/2.
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