Respuestas
1Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer {10} botes de forma cilíndrica de {10 \ cm} de diámetro y {20 \ cm} de altura.
Solución
1La cantidad de hojalata requerida es el área total del cilindro
{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (5)(20 + 5) \\\\ & = & 785.4 \ cm^2 \end{array}}
2La cantidad total de hojalata requerida para fabricar {10} botes es
{\begin{array}{rcl} 10(785.4) & = & 7,854 \ cm^2 \end{array}}
2Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Si la altura es de {125.66 \ cm}. Calcular el área total y volumen.
Solución
1Primero utilizamos el hecho que la altura es igual a la longitud de la circunferencia de la base para encontrar el valor del radio
{\begin{array}{rcl} 2 \pi r & = & 125.66 \\\\ r & = & \displaystyle \frac{125.66}{2 \pi} \\\\ r & = & 20 \ cm \end{array}}
2Calculamos el área total
{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi (20)(125.66 + 20) \\\\ & = & 18,304.2 \ cm^2 \end{array}}
3Calculamos el volumen
{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (20)^2(125.66) \\\\ & = & 157,909.4 \ cm^3 \end{array}}
3En una probeta de {6 \ cm} de radio se echan cuatro cubitos de hielo de {4 \ cm} de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan?
Solución
1Calculamos el volumen {V_H} de un cubito de hielo
{\begin{array}{rcl} V_H & = & 4^3 \\\\ & = & 64 \ cm^3 \end{array}}
El volumen ocupado por los cuatro cubitos de hielo es {4(64) = 256 \ cm^3}
2Para encontrar la altura de la probeta, igualamos el volumen de la probeta {V_c} con el volumen de agua de los cuatro cubitos
{\begin{array}{rcl} V_c & = & 256 \\\\ \pi (6)^2 h & = & 256 \\\\ h & = & \displaystyle \frac{256}{36 \pi} \\\\ h & = & 2.26 \ cm \end{array}}
4Un recipiente cilíndrico de 10 cm de radio y y 5 cm de altura se llena de agua. Si la masa del recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
Solución
1Calculamos el volumen del recipiente
{\begin{array}{rcl} V & = & \pi (10)^2 (5) \\\\ & = & 1,570.8 \ cm^3 \end{array}}
2Se sabe que un {kg} es igual a un {dm^3}, por lo que convertimos el volumen a {dm^3}
{\begin{array}{rcl} 1,570.8 \ cm^3 & = & 1,570.8 \left( \displaystyle \frac{dm}{10} \right)^3 \\\\ & = & 1.57 \ dm^3 \\\\ & = & 1.57 \ kg \end{array}}
3Así, la masa del recipiente vacio es {(2 - 1.57) \ kg = 0.43 \ kg}
5Si radio de la base de un cilindro se reduce a la mitad, ¿es su volumen igual a la mitad del volumen original?
Solución
1Calculamos el volumen del cilindro de radio {r} y altura {h}
{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}
2Calculamos el volumen para el cilindro con el radio reducido a la mitad
{\begin{array}{rcl} V_{r/2} & = & \displaystyle \pi \left( \frac{r}{2} \right)^2 h \\\\ & = & \displaystyle \frac{1}{4} \pi r^2 h \end{array}}
3El volumen del cilindro con el radio reducido a la mitad es igual a una cuarta parte del volumen del cilindro original, y no la mitad de este.
6Se desea construir una lata cilíndrica cuyo radio sea la cuarta parte de su altura. Expresa el volumen y el área total de la lata en función del radio de la misma.
Solución
1Calculamos el volumen del cilindro de radio {r} y altura {h}
{\begin{array}{rcl} V_r & = & \pi r^2 h \end{array}}
2Utilizamos el hecho de que el radio es igual a un cuarto de la altura, para expresar la altura en término del radio
{\begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{1}{4}h & = & \displaystyle r \\\\ h & = & \displaystyle 4r \end{array}}
3Sustituimos el valor {h} en la fórmula del volumen, para expresarlo en términos de {r}
{\begin{array}{rcl} V & = & \pi r^2 \left( \displaystyle 4r \right) \\\\ V & = & 4 \pi r^3 \end{array}}
4Sustituimos el valor {h} en la fórmula del área total, para expresarlo en términos de {r}
{\begin{array}{rcl} A_T & = & 2\pi r \left( \displaystyle h + r \right) \\\\ & = & 2 \pi r (4r + r) \\\\ & = & 10 \pi r^2 \end{array}}