Question

¿Cuántos números enteros positivos de cinco cifras hay que no son múltiplos de 4 y que al eliminar las primeras dos cifras queda un número que es un cubo perfecto? *
Observación. Se dice que un número entero positivo n es un cubo perfecto si es el resultado de elevar al cubo algún número entero positivo. Por ejemplo, 64 es un cubo perfecto, puesto que 64=4x4x4.

Answer 1

Hay 375 números enteros positivos de cinco cifras que no son múltiplos de 4 y que al eliminar las primeras dos cifras queda un número que es un cubo perfecto.

Si tenemos un numero de 5 cifras y eliminamos las dos ultimas, nos queda un numero de 3 cifras. Analicemos cuantos números de tres cifras son cubos perfectos:

99 < n³ < 1000

$\sqrt[3]{99}< n < \sqrt[3]{1000} \\4.62 < n <10\\5 \le n \le9$

Hay por tanto 9 - 5 + 1 = 5 números cubos perfectos de tres cifras. Estos son:

125, 216, 343, 512, 729

Analicemos ahora la divisibilidad por 4, que solo depende de las dos ultimas cifras. Un numero es divisible entre 4 si sus dos ultimas cifras son divisibles entre 4. Veamos cuantos números del 0 al 99 cifras hay divisibles entre 4:

0 ≤ 4n < 100

0/4 ≤ n < 100/4

0 ≤ n < 25  

0 ≤ n ≤ 24

Hay por tanto 24 - 0 + 1 = 25 números divisibles entre 4 del 0 al 100. Por tanto, hay entonces, 75 que no son divisibles entre 4.

CONCLUSIONES

Como tenemos 5 números cubos perfectos y cada uno puede terminar de 75 maneras diferentes para que no sea divisible entre 4 entonces, por el principio multiplicativo tenemos un total de:

75 * 5 = 375

R/ Hay 375 números que cumplen la condición impuesta.

Se anexan los 375 números.

12501, 12502, 12503, 12505, 12506, 12507, 12509, 12510, 12511, 12513, 12514, 12515, 12517, 12518, 12519, 12521, 12522, 12523, 12525, 12526, 12527, 12529, 12530, 12531, 12533, 12534, 12535, 12537, 12538, 12539, 12541, 12542, 12543, 12545, 12546, 12547, 12549, 12550, 12551, 12553, 12554, 12555, 12557, 12558, 12559, 12561, 12562, 12563, 12565, 12566, 12567, 12569, 12570, 12571, 12573, 12574, 12575, 12577, 12578, 12579, 12581, 12582, 12583, 12585, 12586, 12587, 12589, 12590, 12591, 12593, 12594, 12595, 12597, 12598, 12599, 21601, 21602, 21603, 21605, 21606, 21607, 21609, 21610, 21611, 21613, 21614, 21615, 21617, 21618, 21619, 21621, 21622, 21623, 21625, 21626, 21627, 21629, 21630, 21631, 21633, 21634, 21635, 21637, 21638, 21639, 21641, 21642, 21643, 21645, 21646, 21647, 21649, 21650, 21651, 21653, 21654, 21655, 21657, 21658, 21659, 21661, 21662, 21663, 21665, 21666, 21667, 21669, 21670, 21671, 21673, 21674, 21675, 21677, 21678, 21679, 21681, 21682, 21683, 21685, 21686, 21687, 21689, 21690, 21691, 21693, 21694, 21695, 21697, 21698, 21699, 34301, 34302, 34303, 34305, 34306, 34307, 34309, 34310, 34311, 34313, 34314, 34315, 34317, 34318, 34319, 34321, 34322, 34323, 34325, 34326, 34327, 34329, 34330, 34331, 34333, 34334, 34335, 34337, 34338, 34339, 34341, 34342, 34343, 34345, 34346, 34347, 34349, 34350, 34351, 34353, 34354, 34355, 34357, 34358, 34359, 34361, 34362, 34363, 34365, 34366, 34367, 34369, 34370, 34371, 34373, 34374, 34375, 34377, 34378, 34379, 34381, 34382, 34383, 34385, 34386, 34387, 34389, 34390, 34391, 34393, 34394, 34395, 34397, 34398, 34399, 51201, 51202, 51203, 51205, 51206, 51207, 51209, 51210, 51211, 51213, 51214, 51215, 51217, 51218, 51219, 51221, 51222, 51223, 51225, 51226, 51227, 51229, 51230, 51231, 51233, 51234, 51235, 51237, 51238, 51239, 51241, 51242, 51243, 51245, 51246, 51247, 51249, 51250, 51251, 51253, 51254, 51255, 51257, 51258, 51259, 51261, 51262, 51263, 51265, 51266, 51267, 51269, 51270, 51271, 51273, 51274, 51275, 51277, 51278, 51279, 51281, 51282, 51283, 51285, 51286, 51287, 51289, 51290, 51291, 51293, 51294, 51295, 51297, 51298, 51299, 72901, 72902, 72903, 72905, 72906, 72907, 72909, 72910, 72911, 72913, 72914, 72915, 72917, 72918, 72919, 72921, 72922, 72923, 72925, 72926, 72927, 72929, 72930, 72931, 72933, 72934, 72935, 72937, 72938, 72939, 72941, 72942, 72943, 72945, 72946, 72947, 72949, 72950, 72951, 72953, 72954, 72955, 72957, 72958, 72959, 72961, 72962, 72963, 72965, 72966, 72967, 72969, 72970, 72971, 72973, 72974, 72975, 72977, 72978, 72979, 72981, 72982, 72983, 72985, 72986, 72987, 72989, 72990, 72991, 72993, 72994, 72995, 72997, 72998, 72999.