Question

El director del Teatro San Martín ha estimado que si cobra $30 por entrada se asegura una asistencia de 500 espectadores y que por cada rebaja de $1 en el costo de la entrada le aseguraría una asistencia de 50 personas más. ¿En cuánto debe rebajar las entradas por obtener la mayor ganancia en el espectáculo? Y si necesita asegurarse una ganancia de al menos $15.000?

Answer 1

Consideraciones iniciales

Debemos de definir en primer lugar la funcion que definira el ingreso que recibe el teatro por el cobro de las entradas.

I = p x q

I  = Ingreso

p = Precio unitario

q = Cantidad

Resolución

Si consideramos el ingreso tal y como es el precio sin ninguna rebaja entonces tendremos una asistencia de 500 espectadores y el costo de la entrada de $ 30.

I = p x q

I = 30 x 500

I = $ 15000

Si consideramos el descuento o la rebaja de la entradas en $ 1 con lo cual se asegura una asistencia de 50 personas mas.

I (1) = (30 - 1) x (500 + 50)

Si consideramos ahora el descuento o rebaja de la entrada en $ 2 con lo cual se aseguraria un ingreso de:

I (2) = (30 - 2) x (500 + 50(2))

Y si considerariamos el descuento o rebaja de la entrada en $ 3 con lo cual se aseguraria un ingreso de:

I (3) = (30 - 3) x (500 + 50(3))

Por lo tanto si consideramos un descuento o rebaja en la entrada de d con lo cual se aseguraria un ingreso de:

I(d) = (30 - d) x (500 + 50(d))

I(d) = 15000 + 1500d - 500d - 50d²

I(d) = - 50d² + 1000d + 15000

Por lo tanto la funcion que modela el ingreso sera :

I(d) = - 50d² + 1000d + 15000

Como nos piden la mayor ganacia en el espectaculo entonces debemos de calcular el vertice la parabola.

V (h, k)

h = -b/2a

k = I(h)

Donde:

b = 1000

a = -50

Entonces:

h = -b/2a

h = -(1000)/2(-50)

h = 10

k = I(h)

k = I(10)

k = - 50(10)² + 1000(10) + 15000

k = 20000

Por lo tanto el ingreso máximo esperado sera de k = 20000

Y se alcanzara un total de

q = 500 + 50d

q = 500 + 50(10)

q = 1000 espectadores

¿En cuánto debe rebajar las entradas por obtener la mayor ganancia en el espectáculo?

Como se aprecia teniendo un descuento de $ 10 entonces se obtendra una ganancia maxima de $ 20000. Con una cantidad asegurada de 1000 espectadores.