Question

A un castillo antiguo se acerco un explorador
y primero mide el angulo de elevación ala
parte más alta del castillo y encuentro que es de
16° despues comina 40m. y vuelve a medir el
angulo de eleucdo y observo que es de 28° ¿cuál es
altura del castillo?​

Answer 1

La altura h del castillo es de 24.90 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación del problema en dos triángulos rectángulos:    

El ABC: el cual está conformado por el lado AC que equivale a la altura del castillo, el lado BC que representa la distancia sobre la línea del suelo desde el observador hasta la base del castillo -donde no conocemos la totalidad de esa distancia sino sólo una porción- : la del segmento DB: donde el observador avanzó hacia el castillo 40 metros hasta otro punto del suelo o de observación, y no sabemos la longitud del segmento DC - a la cual llamaremos distancia "x" - y el lado AB es la línea visual hasta la parte superior del castillo visto con un ángulo de elevación de 16°

El ACD: el cual está configurado por el lado AC que equivale a la altura del castillo, el lado DC que es la distancia sobre el plano del suelo desde el observador -ubicado en el segundo punto de avistamiento- hasta la base del castillo luego de haber avanzado en línea recta hacia allí 40 metros. Esta distancia es de valor desconocido y es a la que llamamos distancia "x". Y por último tenemos el lado AD que equivale a la línea visual hasta la cúspide del castillo visto con un ángulo de elevación de 28°

Donde se pide hallar:

La altura h del castillo

Para resolver este ejercicio vamos a plantear un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, a las que llamaremos variable x y variable h

Donde "x" será la distancia a hallar sobre la línea del suelo hasta la base del castillo luego de haber avanzado desde el primer punto de observación 40 metros, alcanzando el segundo punto de ubicación

Y dónde la incógnita "h" será la altura del castillo

Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Siendo la altura "h" del castillo el cateto opuesto a los ángulos dados y en donde las diferentes distancias hasta el castillo son los catetos adyacentes de los respectivos ángulos de elevación

En donde la altura "h" del castillo es un valor que no cambiará para ninguna de las distancias de donde el observador se encuentre

Y como conocemos de manera parcial la medida del cateto adyacente, los dos ángulos de elevación según se sitúe el expllorador en un punto del plano del suelo, y nos piden hallar la altura del castillo emplearemos la razón trigonométrica tangente para determinar la incógnita

Hallamos la distancia x

Planteamos un sistema de ecuaciones

$\boxed {\bold {tan (28^o) = \frac{h}{x} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = x \ . \ tan(28^o ) } }$

$\boxed {\bold {tan (16^o) = \frac{h}{x +40} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \to h = (x + 40) \ . \ tan (16^o) } }$

Igualamos las dos expresiones para hallar el valor de x

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(28^o)= (x + 40) \ . \ tan(16^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(28^o) = x \ . \ tan(16^o) +40 \ . \ tan(16^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ tan(28^o) - x \ . \ tan(16^o) =40 \ . \ tan(16^o) }}$

$\boxed { \bold {x \ . \ (tan(28^o) - \ tan(16^o) )=40\ . \ tan(16^o) }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 40 \ . \ tan(16^o) }{ tan(28^o) - \ tan(16^o) } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 40 \ . \ 0.286745385759 }{ 0.531709431661-0.286745385759 } }}$

$\boxed { \bold {x = \frac{ 11.46981543836 }{ 0.244964045902 } }}$

$\boxed { \bold {x = 46.8224 \ metros }}$

$\large\boxed { \bold {x = 46.82 \ metros }}$

La distancia x es de aproximadamente 46.82 metros

Hallamos la altura h del castillo

Si

$\boxed {\bold {h = x \ . \ tan(28^o)}}$

y

$\boxed { \bold {x = \frac{ 40 \ . \ tan(16^o) }{ tan(28^o) - \ tan(16^o) } }}$

Reemplazando

$\boxed { \bold {h = \frac{ 40 \ . \ tan(16^o) \ .\ tan(28^o) }{ tan(28^o)- \ tan(16^o) } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 40 \ . \ 0.286745385759 \ .\ 0.531709431661 }{ 0.531709431661-0.286745385759 } }}$

$\boxed { \bold {h = \frac{ 6.09860904373328 }{ 0.244964045902 } }}$

$\boxed { \bold {h = 24.8959\ metros }}$

$\textsf{Redondeando por exceso }$

$\large\boxed { \bold {h = 24.90\ metros }}$

La altura h del castillo es de aproximadamente 24.90 metros

Se adjunta gráfico a escala que representa la situación