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Respuesta: Espero que te sirva :)
Explicación paso a paso: De forma intuitiva, podemos decir que para calcular un límite de la forma
\displaystyle \lim_{x \to \infty}{f(x)}
La manera de hacerlo es sustituyendo la x por \infty.
Sin embargo, este procedimiento puede que no funcione siempre, pues en algunas situaciones no es claro el valor que tomará la función cuando se evalúa en \infty. Describimos abajo algunas de las situaciones en las que no es claro el valor del límite y cómo determinarlo:
Límite de funciones polinómicas en el infinito
Consideremos un polinomio de la forma
\displaystyle P(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1 x + a_0
Entonces, el límite es
\displaystyle \lim_{x \to \infty}{P(x)} = \begin{cases} \infty & \text{si} \; a_n > 0\\ -\infty & \text{si} \; a_n < 0 \end{cases}
En otras palabras, el signo del límite es el mismo que el signo del coeficiente principal del polinomio.
Ejemplos
1. El siguiente límite
\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(3x^4 + x^3 - 2x)} = \infty
es \infty debido a que el coeficiente principal (es decir, 3) es positivo.
2. El límite
\displaystyle \lim_{x \to \infty}{(- x^2 + 5x + 6)} = - \infty
toma el valor - \infty debido a que el coeficiente principal es negativo (-1).
Nota: observemos en el ejemplo anterior que sustituir por \infty no nos ayudaría a calcular el límite. Esto debido a que
\begin{align*} \lim_{x \to \infty}{(- x^2 + 5x + 6)} & = -(\infty)^2 + 5(\infty) + 6\\ & = - \infty + \infty + 6\\ & = - \infty + \infty \end{align*}
Es decir, tenemos una indeterminación de la forma \infty - \infty.
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