Question

Como resolver esta operación de ecuación exponencial?

Answer 1

Reglas de potenciación a tener en cuenta.

Producto de potencias con distinta base y mismo exponente, es igual al producto de las bases manteniendo dicho exponente.

Producto de raíces con el mismo índice es igual al producto de los radicandos manteniendo dicho índice.

$\sqrt[7]{ p^{(2x-1)}* q^{(2x-1)} }* \sqrt[7]{ p^{3}* q^{3} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} } \\ \\ \sqrt[7]{ (pq)^{2x-1} }* \sqrt[7]{ (pq)^{3} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} } \\ \\ \sqrt[7]{ (pq)^{2x-1}* (pq)^{3} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} }$

Producto de potencias con misma base y distinto exponente, se suman los exponentes.

$(2x-1)+(3) = 2x+2 \\ \\ \sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} }$

Elevo ambos términos a la octava potencia pero, para que se vea más claro el paso, el de la izquierda lo desglosaré en ...

$(\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} })^{8} =(\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} })^{7}*\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }$

$(pq)^{2x+2}*\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }=(pq)^{4x-2} \\ \\ \sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }= \frac{(pq)^{4x-2}}{(pq)^{2x+2}}$

Cociente de potencias con la misma base, se restan exponentes...
$(4x-2) - (2x+2) = 4x-2-2x-2= 2x-4$

$\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }= (pq)^{2x-4}$

Elevo ahora a la séptima potencia los dos términos para hacer desaparecer la raíz...

$(pq)^{2x+2} = [(pq)^{2x-4}]^7$

Potencia de otra potencia, se multiplican exponentes...
$(2x-4)*7 = 14x-28$

$(pq)^{2x+2} = (pq)^{14x-28}$

Finalmente llegamos al objetivo que es que las bases a ambos lados de la ecuación sean iguales. Con ello podemos igualar los exponentes y nos topamos con una ecuación sencilla de primer grado.

$2x+2 = 14x-28 \\ \\ 30 = 12x \\ \\ x= \frac{30}{12} = \frac{5}{2} \\ Saludos.$