Como resolver esta operación de ecuación exponencial?

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Respuestas

Respuesta dada por: preju
2
Reglas de potenciación a tener en cuenta.

Producto de potencias con distinta base y mismo exponente, es igual al producto de las bases manteniendo dicho exponente.

Producto de raíces con el mismo índice es igual al producto de los radicandos manteniendo dicho índice.

\sqrt[7]{ p^{(2x-1)}* q^{(2x-1)} }* \sqrt[7]{ p^{3}* q^{3} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} } \\  \\  \sqrt[7]{ (pq)^{2x-1} }* \sqrt[7]{ (pq)^{3} }  = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} } \\  \\ 
 \sqrt[7]{ (pq)^{2x-1}* (pq)^{3}  } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} }

Producto de potencias con misma base y distinto exponente, se suman los exponentes.

(2x-1)+(3) = 2x+2 \\  \\  \sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} } = \sqrt[8]{ (pq)^{4x-2} }

Elevo ambos términos a la octava potencia pero, para que se vea más claro el paso, el de la izquierda lo desglosaré en ...

 (\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} })^{8} =(\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} })^{7}*\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }

(pq)^{2x+2}*\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }=(pq)^{4x-2} \\  \\ 
\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }= \frac{(pq)^{4x-2}}{(pq)^{2x+2}}

Cociente de potencias con la misma base, se restan exponentes...
(4x-2) - (2x+2) = 4x-2-2x-2= 2x-4

\sqrt[7]{ (pq)^{2x+2} }=  (pq)^{2x-4}

Elevo ahora a la séptima potencia los dos términos para hacer desaparecer la raíz...

(pq)^{2x+2} = [(pq)^{2x-4}]^7

Potencia de otra potencia, se multiplican exponentes...
(2x-4)*7 = 14x-28

(pq)^{2x+2} =  (pq)^{14x-28}

Finalmente llegamos al objetivo que es que las bases a ambos lados de la ecuación sean iguales. Con ello podemos igualar los exponentes y nos topamos con una ecuación sencilla de primer grado.

2x+2 = 14x-28 \\  \\ 30 = 12x \\  \\ x= \frac{30}{12} =  \frac{5}{2}  \\ 

Saludos.


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