Question

Complete el cuadrado en x y y para determinar el centro y el radio del círculo dado:
X2 + y2 + 8y =0

Answer 1

Bueno si recuerdas la fórmula general de una circunferencia es justamente esa que tienes...
$x^{2} +y^{2}+Dx+Ey+F$ la única diferencia es que en tu ejercicio el término Dx=0 por eso no se puede completar el cuadrado con x, por lo tanto ahora si recordamos la fórmula canónica de la circunferencia de centro distinto del origen...$(x-h)^{2} +(y-k)^{2} = r^{2}$ donde h es la coordenada del centro en el eje x y k es la coordenada del centro en el eje y, si comparamos y te das cuenta para que Dx=0 implica que la coordenada del centro en el eje x=0 y el centro está en alguna parte del eje y...bueno veamos que se puede hacer...

$x^{2} +( y^{2} +8y)=0 \\ completemos \\ x^{2} +( y^{2}+8y+ n^{2} )- n^{2} =0$ aumentamos el ´termino que nos hace falta ten en cuenta que si sumas un número lo tienes que restar para que no afecte a la igualdad...entonces...si recuerdas...

$(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+ b^{2}$ entonces primero sacamos la raíz al primer término es decir la raíz del primer término es igual a "y" y la raíz del tercer término es decir "n" y ahora necesitamos que el doble producto de éstos dos sea igual a +8y así

$( y^{2} +8y+ n^{2} ) \\ y-----n \\ 2yn=8y \\ n=4$ ya sabemos el término que nos faltaba...entonces quedaría así
$x^{2} +(y+4) ^{2} -16=0 \\ x^{2} +(y+4) ^{2} =16$ y por la fórmula canónica nos dice que...
$(x-0)^{2} +(y-(-4)) ^{2} = 4^{2}$ por lo tanto el centro tiene coordenadas (0,-4) y tiene un radio de 4 y eso sería todo...