Question

El émbolo pequeño y el émbolo mayor de una prensa hidraulica tienen diámetros de 3 cm y 18 cm respectivamente: Qué fuerza de entrada se requiere para proporcionar una fuerza total de 2950 newtons en el émbolo grande?
R:f=81.94N​

Answer 1

La fuerza de entrada requerida es de 81.94 N

Solución

Empleamos el Principio de Pascal

Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica.

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Donde consideramos que los émbolos se encuentran a la misma altura

Por tanto se tienen dos émbolos uno pequeño o el émbolo menor de un lado y el émbolo mayor al otro lado

Donde si se aplica una fuerza F al émbolo de menor área el resultado será una fuerza mucho mayor en el émbolo de mayor área o embolo mayor y viceversa

Para que se cumpla la relación

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

Por enunciado sabemos que la fuerza aplicada sobre el émbolo grande (mayor) es de 2950 N

Luego

$\large\boxed{ \bold{ F_{B} = 2950 \ N }}$

Determinamos la superficie del émbolo pequeño (menor)

Embolo Menor

El émbolo menor tiene un diámetro de 3 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo menor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{(3 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ . \ \frac{9 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 2.25\ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo pequeño es de π 2.25 centímetros cuadrados

Determinamos la superficie del émbolo grande (mayor)

Embolo Mayor

El émbolo mayor tiene un diámetro de 18 centímetros

Hallamos la superficie o área del émbolo mayor empleando la fórmula para calcular el área de un círculo

$\boxed{ \bold{S = \pi \ . \ \left( \frac{D^{2} }{4} \right) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{(18 \ cm) ^{2} }{4} }}$

$\boxed{ \bold{S_{B} = \pi \ . \ \frac{324 \ cm ^{2} }{4} }}$

$\large\boxed{ \bold{S_{A} = \pi \ 81\ cm^{2} }}$

La superficie o área del émbolo grande es de π 81 centímetros cuadrados

Hallamos la fuerza de entrada requerida

Por el Principio de Pascal

$\large\boxed{ \bold{ P_{A} = P_{B} }}$

Teniendo

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\bold{ F_{A }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo menor }$

$\bold{ S_{A} } \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{\'Area \'embolo menor }\ \ \bold { \pi \ 2.25\ cm^{2} }$

$\bold{ F_{B }} \ \ \ \ \ \ \ \large\textsf{Fuerza sobre \'embolo mayor}\ \ \bold { 2950\ N}$

$\bold{ S_{B} } \ \ \ \ \ \ \large\textsf{ \'Area \'embolo mayor }\ \ \bold { \pi \ 81\ cm^{2} }$

$\large\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ S_{A} } = \frac{ F_{B} }{ S_{B} } }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ F_{A} }{ \pi \ 2.25\ cm^{2} } = \frac{ 2950 \ N }{ \pi \ 81 \ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 2950 \ N\ . \ \pi \ 2.25\ cm^{2} }{ \pi \ 81\ cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 2950 \ N\ . \ \not \pi \ 2.25\ \not cm^{2} }{ \not \pi \ 81\ \not cm^{2} } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 2950 \ N\ . \ 2.25 }{ 81 } }}$

$\boxed{ \bold{ F_{A} = \frac{ 6637.5 \ N }{ 81 } }}$

$\large\boxed{ \bold{ F_{A} = 81.94 \ N }}$

La fuerza de entrada requerida es de 81.94 N