Question

El conjunto de matrices triangulares superiores de r3x3 es un subespacio de M3x3.​

Answer 1

El conjunto de matrices triangulares superiores de 3x3 es un subespacio de las matrices de 3x3.

Explicación paso a paso:

Para que el  conjunto de matrices triangulares superiores de 3x3 sea un subespacio de las matrices 3x3, tiene que cumplirse:

• La suma de dos elementos de ese subespacio tiene que pertenecer al subespacio (ley cerrada de la suma).
• La multiplicación por un escalar tiene que pertenecer al subespacio (ley cerrada del producto).

La suma de dos matrices triangulares superiores de 3x3 es:

$\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{array}\right] +\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\0&b_{22}&b_{23}\\0&0&b_{33}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\0&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\0&0&a_{33}+b_{33}\end{array}\right]$

Con lo cual la ley cerrada de la suma se cumple al ser la suma también una matriz triangular superior 3x3.

Y la multiplicación por un escalar es:

$k\left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}k.a_{11}&k.a_{12}&k.a_{13}\\0&k.a_{22}&k.a_{23}\\0&0&k.a_{33}\end{array}\right]$

Cumpliendose también la ley cerrada del producto, al ser el resultado otra matriz triangular de 3x3.