Question

a)
Z √
x
3dx; b)
Z
3
x
3
dx; c)
Z
(2x
3 + 5√
x)dx; d)
Z
x
3
(2√
x − 3)dx.
Soluci´on:
1a)
2x
5/2
5
+ k; 1b) −
3
2x
2
+ k; 1c)
10
3
x
3/2 +
x
4
2
+ k; 1d) −
3
4
x
4 +
4
9
x
9/2 + k.
2) Calcula las integrales:
a)
Z
(x
3 + 1)3
dx; b)
Z
x(x
2 + 1)4
dx; c)
Z
(x + 3)2
(x
2 + 1)dx.
Soluci´on:
2a)x +
3
4
x
4 +
3
7
x
7 +
1
10
x
10; 2b)
1
10
(1 + x
2
)
5
; 2c)9x + 3x
2 +
10
3
x
3 +
3
2
x
4 +
1
5
x
5
.
3) Calcula las integrales:
a)
Z
1
(2x − 1)3
dx; b)
Z
x − 2
√
x
3
√3 x
dx; c)
Z
(2 + 3x)
3
2x
dx.
Soluci´on:
3a) −
1
(2x − 1)2
; 3b) −
4
7
x
7/6 +
1
5
x
5/3
; 3c)
1
2
¡
9x(4 + 3x + x
2
) + 8 ln x
¢
.
4) Calcula las integrales:
a)
Z
x
(2 + x
2
)
3
dx; b)
Z
cos x sen 2xdx; c)
Z
ln x
x
dx.
Soluci´on:
4a) −
1
4(2 + x
2
)
2
; 4b)
1
3
sen 3x; 4c)
1
2
ln2
x.
5) Calcula las integrales:
a)
Z
sen x
1 + cos x
dx; b)
Z
2 tan x
cos2 x
dx; c)
Z
2
cos x
sen xdx.
Soluci´on:
5a) − ln(1 + cos x); 5b)
1
2
tan2 x; 5c) −
2
cos x
ln 2 .
1
6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci´on:
a)
Z
−2x
3
1 + x
4
dx; b)
Z
xex
dx; c)
Z
x sen (x
2 − π)dx.
d)
Z
x
1 + x
4
dx; e)
Z
2
√
4 − x
2
dx; f)
Z
x
√
4 − x
2
dx.
g)
Z
(x
2 + x + 1)/
√
xdx; h)
Z
x
√3
6 − x
2
dx; i)
Z
2x + 4
√
x
2 + 4x + 2
dx.
Soluci´on:
6a) −
1
2
ln(1 + x
4
); 6b)
1
2
e
x
2
; 6c) −
1
2
cos(x
2 − π) = 1
2
cos(x
2
).
6d)
1
2
arctan(x
2
); 6e)2 arc sen(x/2); 6f) −
√
4 − x
2
.
6g)
2
315
√
x(315 + 210x + 189x
2 + 90x
3 + 35x
4
); 6h) −
3
4
(6 − x
2
)
2/3
; 6i)2√
x
2 + 4x + 2.
7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:
a)
Z
x
sen 2
(x
2
)
dx; b)
Z
ln xdx;

Answer 1

a)

Z √

x

3dx; b)

Z

3

x

3

dx; c)

Z

(2x

3 + 5√

x)dx; d)

Z

x

3

(2√

x − 3)dx.

Soluci´on:

1a)

2x

5/2

5

+ k; 1b) −

3

2x

2

+ k; 1c)

10

3

x

3/2 +

x

4

2

+ k; 1d) −

3

4

x

4 +

4

9

x

9/2 + k.

2) Calcula las integrales:

a)

Z

(x

3 + 1)3

dx; b)

Z

x(x

2 + 1)4

dx; c)

Z

(x + 3)2

(x

2 + 1)dx.

Soluci´on:

2a)x +

3

4

x

4 +

3

7

x

7 +

1

10

x

10; 2b)

1

10

(1 + x

2

)

5

; 2c)9x + 3x

2 +

10

3

x

3 +

3

2

x

4 +

1

5

x

5

.

3) Calcula las integrales:

a)

Z

1

(2x − 1)3

dx; b)

Z

x − 2

√

x

3

√3 x

dx; c)

Z

(2 + 3x)

3

2x

dx.

Soluci´on:

3a) −

1

(2x − 1)2

; 3b) −

4

7

x

7/6 +

1

5

x

5/3

; 3c)

1

2

¡

9x(4 + 3x + x

2

) + 8 ln x

¢

.

4) Calcula las integrales:

a)

Z

x

(2 + x

2

)

3

dx; b)

Z

cos x sen 2xdx; c)

Z

ln x

x

dx.

Soluci´on:

4a) −

1

4(2 + x

2

)

2

; 4b)

1

3

sen 3x; 4c)

1

2

ln2

x.

5) Calcula las integrales:

a)

Z

sen x

1 + cos x

dx; b)

Z

2 tan x

cos2 x

dx; c)

Z

2

cos x

sen xdx.

Soluci´on:

5a) − ln(1 + cos x); 5b)

1

2

tan2 x; 5c) −

2

cos x

ln 2 .

1

6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci´on:

a)

Z

−2x

3

1 + x

4

dx; b)

Z

xex

dx; c)

Z

x sen (x

2 − π)dx.

d)

Z

x

1 + x

4

dx; e)

Z

2

√

4 − x

2

dx; f)

Z

x

√

4 − x

2

dx.

g)

Z

(x

2 + x + 1)/

√

xdx; h)

Z

x

√3

6 − x

2

dx; i)

Z

2x + 4

√

x

2 + 4x + 2

dx.

Soluci´on:

6a) −

1

2

ln(1 + x

4

); 6b)

1

2

e

x

2

; 6c) −

1

2

cos(x

2 − π) = 1

2

cos(x

2

).

6d)

1

2

arctan(x

2

); 6e)2 arc sen(x/2); 6f) −

√

4 − x

2

.

6g)

2

315

√

x(315 + 210x + 189x

2 + 90x

3 + 35x

4

); 6h) −

3

4

(6 − x

2

)

2/3

; 6i)2√

x

2 + 4x + 2.

7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:

a)

Z

xRespuesta:

 

sen 2

(x

2

)

dx; b)

Explicación paso a paso: