a)
Z √
x
3dx; b)
Z
3
x
3
dx; c)
Z
(2x
3 + 5√
x)dx; d)
Z
x
3
(2√
x − 3)dx.
Soluci´on:
1a)
2x
5/2
5
+ k; 1b) −
3
2x
2
+ k; 1c)
10
3
x
3/2 +
x
4
2
+ k; 1d) −
3
4
x
4 +
4
9
x
9/2 + k.
2) Calcula las integrales:
a)
Z
(x
3 + 1)3
dx; b)
Z
x(x
2 + 1)4
dx; c)
Z
(x + 3)2
(x
2 + 1)dx.
Soluci´on:
2a)x +
3
4
x
4 +
3
7
x
7 +
1
10
x
10; 2b)
1
10
(1 + x
2
)
5
; 2c)9x + 3x
2 +
10
3
x
3 +
3
2
x
4 +
1
5
x
5
.
3) Calcula las integrales:
a)
Z
1
(2x − 1)3
dx; b)
Z
x − 2
√
x
3
√3 x
dx; c)
Z
(2 + 3x)
3
2x
dx.
Soluci´on:
3a) −
1
(2x − 1)2
; 3b) −
4
7
x
7/6 +
1
5
x
5/3
; 3c)
1
2
¡
9x(4 + 3x + x
2
) + 8 ln x
¢
.
4) Calcula las integrales:
a)
Z
x
(2 + x
2
)
3
dx; b)
Z
cos x sen 2xdx; c)
Z
ln x
x
dx.
Soluci´on:
4a) −
1
4(2 + x
2
)
2
; 4b)
1
3
sen 3x; 4c)
1
2
ln2
x.
5) Calcula las integrales:
a)
Z
sen x
1 + cos x
dx; b)
Z
2 tan x
cos2 x
dx; c)
Z
2
cos x
sen xdx.
Soluci´on:
5a) − ln(1 + cos x); 5b)
1
2
tan2 x; 5c) −
2
cos x
ln 2 .
1
6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci´on:
a)
Z
−2x
3
1 + x
4
dx; b)
Z
xex
dx; c)
Z
x sen (x
2 − π)dx.
d)
Z
x
1 + x
4
dx; e)
Z
2
√
4 − x
2
dx; f)
Z
x
√
4 − x
2
dx.
g)
Z
(x
2 + x + 1)/
√
xdx; h)
Z
x
√3
6 − x
2
dx; i)
Z
2x + 4
√
x
2 + 4x + 2
dx.
Soluci´on:
6a) −
1
2
ln(1 + x
4
); 6b)
1
2
e
x
2
; 6c) −
1
2
cos(x
2 − π) = 1
2
cos(x
2
).
6d)
1
2
arctan(x
2
); 6e)2 arc sen(x/2); 6f) −
√
4 − x
2
.
6g)
2
315
√
x(315 + 210x + 189x
2 + 90x
3 + 35x
4
); 6h) −
3
4
(6 − x
2
)
2/3
; 6i)2√
x
2 + 4x + 2.
7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:
a)
Z
x
sen 2
(x
2
)
dx; b)
Z
ln xdx;
Respuestas
a)
Z √
x
3dx; b)
Z
3
x
3
dx; c)
Z
(2x
3 + 5√
x)dx; d)
Z
x
3
(2√
x − 3)dx.
Soluci´on:
1a)
2x
5/2
5
+ k; 1b) −
3
2x
2
+ k; 1c)
10
3
x
3/2 +
x
4
2
+ k; 1d) −
3
4
x
4 +
4
9
x
9/2 + k.
2) Calcula las integrales:
a)
Z
(x
3 + 1)3
dx; b)
Z
x(x
2 + 1)4
dx; c)
Z
(x + 3)2
(x
2 + 1)dx.
Soluci´on:
2a)x +
3
4
x
4 +
3
7
x
7 +
1
10
x
10; 2b)
1
10
(1 + x
2
)
5
; 2c)9x + 3x
2 +
10
3
x
3 +
3
2
x
4 +
1
5
x
5
.
3) Calcula las integrales:
a)
Z
1
(2x − 1)3
dx; b)
Z
x − 2
√
x
3
√3 x
dx; c)
Z
(2 + 3x)
3
2x
dx.
Soluci´on:
3a) −
1
(2x − 1)2
; 3b) −
4
7
x
7/6 +
1
5
x
5/3
; 3c)
1
2
¡
9x(4 + 3x + x
2
) + 8 ln x
¢
.
4) Calcula las integrales:
a)
Z
x
(2 + x
2
)
3
dx; b)
Z
cos x sen 2xdx; c)
Z
ln x
x
dx.
Soluci´on:
4a) −
1
4(2 + x
2
)
2
; 4b)
1
3
sen 3x; 4c)
1
2
ln2
x.
5) Calcula las integrales:
a)
Z
sen x
1 + cos x
dx; b)
Z
2 tan x
cos2 x
dx; c)
Z
2
cos x
sen xdx.
Soluci´on:
5a) − ln(1 + cos x); 5b)
1
2
tan2 x; 5c) −
2
cos x
ln 2 .
1
6) Calcula las siguientes integrales de modo inmediato o mediante una simple sustituci´on:
a)
Z
−2x
3
1 + x
4
dx; b)
Z
xex
dx; c)
Z
x sen (x
2 − π)dx.
d)
Z
x
1 + x
4
dx; e)
Z
2
√
4 − x
2
dx; f)
Z
x
√
4 − x
2
dx.
g)
Z
(x
2 + x + 1)/
√
xdx; h)
Z
x
√3
6 − x
2
dx; i)
Z
2x + 4
√
x
2 + 4x + 2
dx.
Soluci´on:
6a) −
1
2
ln(1 + x
4
); 6b)
1
2
e
x
2
; 6c) −
1
2
cos(x
2 − π) = 1
2
cos(x
2
).
6d)
1
2
arctan(x
2
); 6e)2 arc sen(x/2); 6f) −
√
4 − x
2
.
6g)
2
315
√
x(315 + 210x + 189x
2 + 90x
3 + 35x
4
); 6h) −
3
4
(6 − x
2
)
2/3
; 6i)2√
x
2 + 4x + 2.
7) Halla las siguientes integrales mediante cambio de variable o integrando por partes:
a)
Z
xRespuesta:
sen 2
(x
2
)
dx; b)
Explicación paso a paso: