Question

hallar derivada de la función, procedimiento. gracias. (ver imagen).

Answer 1

Bueno hay varias formas de como resolverla, pero vamos a hacerla así... amm....primero anotemos algunas cosas que necesitarás saber antes de todo...

$Derivadas \\y= \sqrt{x} \\ y`= \frac{( x )`}{n( \sqrt[n]{ x^{n-1} } )} \\ y= \sqrt[n]{ x^{k} } = x^{ \frac{k}{n} } \\ y`= \frac{k}{n}( x^{ \frac{k}{n}-1 } ) \\ y= \frac{cos(x)}{sin(x)}=ctg(x) \\ y`=-csc^{2}(x) \\ \\ Formula \\ y=(u)(v) \\ y`=(u)`(v)+(v)`(u)=(v)`(u)+(u)`(v)$

Listo ya tenemos todo....ahora sí...sea $f(x)= \frac{ \sqrt{x} cos(x)}{sin(x)} = \frac{ \sqrt{x} }{1} \frac{cos(x)}{sin(x)}= \sqrt{x} (ctg(x))$ entonces derivamos usando la derivada del producto, es decir derivamos un factor y le multiplicamos el otro sin derivar, y le sumamos la derivada del que no derivamos y multiplicamos por el otro sin derivar...

$f`(x)=( \sqrt{x} )`(ctg(x))+(ctg(x))`( \sqrt{x}) \\ f`(x)=( x^{ \frac{1}{2} } )`(ctg(x))+(-csc^{2} (x))( \sqrt{x} ) \\ f`(x)= \frac{1}{2}( x^{ \frac{1}{2} -1} )(ctg(x))-csc ^{2} (x) \sqrt{x} \\ f`(x)= \frac{1}{2}( x^{- \frac{1}{2} } )(ctg(x))- \sqrt{x} csc ^{2} (x) \\ f`(x)= \frac{1}{2 x^{ \frac{1}{2} } }(ctg(x)) - \sqrt{x} csc ^{2} (x) \\ f`(x)= \frac{1}{2 \sqrt{x} }(ctg(x))- \sqrt{x} csc ^{2} (x)$

Answer 2

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}\sin x}{\cos x}\\ \\ \\ f(x)=\sqrt{x}\cdot \dfrac{\sin x}{\cos x}\\ \\ \\ f(x)=\sqrt{x} \cdot \tan x \\ \\ \\ f'(x)=(\sqrt{x})' \cdot \tan x+\sqrt{x} \cdot(\tan x)'\\ \\ \\ f'(x)=\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right) \cdot \tan x+\sqrt{x} \cdot(\sec^2 x)\\ \\ \\ \boxed{f'(x)=\dfrac{\tan x}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\cdot \sec^2 x}$