Question

Calcula el perimetro del rectangulo cuyo lado mayor es cinco unidades menor que el doble de el lado menor y su área es 375m^2 ​

Answer 1

El perímetro del rectángulo es de 80 metros

Solución

Se desea hallar las el perímetro de un rectángulo

Del cual conocemos su área y que su lado mayor es cinco unidades menor que el doble del lado menor

Hallaremos los valores de los lados a partir de su área

Recordemos que

Un rectángulo es un polígono con cuatro lados siendo éstos iguales dos a dos. Siendo sus cuatro ángulos interiores rectos, es decir de 90°.

Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su área es el producto de sus dos lados contiguos (a y b)

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

Donde

A su lado menor lo llamaremos variable "x" y será su ancho,

$\large\textsf{Ancho = x metros}$

y sabiendo que el lado mayor es 5 unidades menor que el doble del lado menor, y lo consideraremos su largo será (2x m  - 5 m )

$\large\textsf{Largo = (2x metros - 5 metros) }$

Conocemos el valor del área del rectángulo que es de 375 m²

$\large\textsf{\'Area = 375 }\bold {m^{2}}$

Estamos en condiciones de plantear una ecuación que satisfaga al problema

$\large\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

En donde empleamos la fórmula para hallar el área de un rectángulo para establecer una ecuación cuadrática para hallar la variable x que es el ancho del rectángulo en metros lineales                      

$\boxed {\bold { 375 \ m^{2} = (2x \ m -5 \ m ) \ . \ x \ m }}$

$\boxed {\bold { (2x \ m -5 \ m ) \ . \ x \ m = 375 \ m^{2} }}$

Como el área de un rectángulo resulta de multiplicar el largo por el ancho, la incógnita x metros de ancho se elevará al cuadrado

$\boxed {\bold { 2x \ m \ . \ x \ m \ -5x\ \ m = 375 \ m^{2} }}$

$\large\textsf{Obteniendo una ecuaci\'on de segundo grado }$

$\large\boxed {\bold { 2x^{2} \ -\ 5x - 375 = 0 }}$

La cual resolvemos para x (el ancho en metros)

Empleando la fórmula cuadrática

$\large\boxed {\bold { x^{2} \ +\ 8x - 105 = 0 }}$

$\large\textsf{F\'ormula cuadr\'atica }$

$\boxed{ \bold{ \frac{ -b\pm \sqrt{ b^2 - 4ac } }{2a} }}$

$\textsf {Sustituimos los valores de a = 2, b = -5 y c = -375 }$

$\large\textsf{Para resolver para x que es el ancho del rect\'angulo }$        

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{ (-5)^2 - 4\ . \ (2 \ . \ -375) } }{2 \ . \ 2} }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{25- 8\ . \ -375 } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5\pm \sqrt{25+ 3000 } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{ 3025 } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm \sqrt{55^{2} } }{4 } }}$

$\boxed{ \bold{x = \frac{ 5 \pm 55 }{4 } }}$

$\large\textsf{La respuesta final es la combinaci\'on de ambas soluciones }$  

$\large\boxed{ \bold{x = 15 \ m ,\ - \frac{25}{2} \ m }}$

$\large\textsf {Se toma el valor positivo de x dado que es una medida de longitud }$

$\large\boxed{ \bold{x = 15 \ m }}$

Luego el ancho del rectángulo es de 15 metros

Determinamos el largo del rectángulo

Luego como sabemos que el largo del rectángulo es  5 unidades menor que el que el doble del lado menor

Reemplazamos el valor hallado de x metros de ancho

$\large\textsf{Ancho = x \ metros }$

$\large\textsf{Ancho = 15 metros }$

$\large\textsf{Largo = (2x metros - 5 metros) }$

$\large\textsf{Largo = (2. 15 m - 5 m) = (30 metros - 5 metros) = 25 metros}$

El largo del rectángulo  es de 25 metros

Sabiendo que el área del rectángulo es de 375 metros cuadrados

Luego el ancho del rectángulo es de 15 metros y el largo de 25 metros

Con las dimensiones halladas calculamos el perímetro del rectángulo

El perímetro de un rectángulo es la suma de sus cuatro lados. Como el rectángulo tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro será el doble de la suma de dos lados contiguos

Pudiendo decir

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (Largo \ + \ Ancho) }}$

Reemplazamos valores y resolvemos

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (25 \ m \ + \ 15 \ m ) }}$

$\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 2 (40 \ m ) }}$

$\large\boxed{\bold { Perimetro \ Rectangulo = 80 \ m }}$

El perímetro del rectángulo es de 80 metros

Verificación

$\boxed{\bold { Area\ Rectangulo = Largo \ . \ Ancho }}$

$\boxed{\bold { 375 \ m^{2} =25 \ m \ . \ 15 \ m }}$

$\boxed{\bold { 375 \ m^{2} =375 \ m^{2} }}$

Se cumple la igualdad