En un evaporador se usa un disco circular y se hace girar en un plano vertical. Si debe estar parcialmente sumergido en el líquido de modo que se maximice el área humedecida expuesta del disco, demuestre que el centro de éste debe hallarse a una altura r/raíz 1 +pi^2 Radio de superficie arriba de la superficie del líquido.
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Respuestas
Respuesta:
El problema del área
Los orígenes del cálculo se remontan al menos 2500 años hasta los antiguos griegos, que
encontraban áreas usando el “método de eliminaciones sucesivas.” Sabían cómo hallar el
área A de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como en la Figura 1 y sumando
las áreas de estos triángulos.
Un problema mucho más difícil es hallar el área de una figura curva. El método griego
de eliminaciones sucesivas era inscribir polígonos en la figura y circunscribir polígonos
alrededor de la figura y luego aumentar el número de lados de los polígonos. La Figura 2
ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos.
Sea An el área del polígono inscrito con n lados. A medida que n aumenta, se ve que An
se acerca cada vez más al área del círculo. Decimos que el área del círculo es el límite de
las áreas de los polígonos inscritos, y escribimos
Los griegos mismos no usaron límites en forma explícita pero, por razonamiento indirecto, Eudoxio (siglo V a.C.) usó el método de eliminaciones sucesivas para demostrar la
conocida fórmula para el área de un círculo: A ! pr 2
.
Usaremos una idea similar en el Capítulo 5 para hallar áreas de regiones del tipo que se
ve en la Figura 3. Aproximaremos el área deseada A por medio de áreas de rectángulos
(como en la Figura 4), hacer que disminuya el ancho de los rectángulos y luego calcular A
como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos.
El problema del área es el problema central en la rama del cálculo llamada cálculo integral. Las técnicas que desarrollaremos en el Capítulo 5 para hallar áreas también hacen
posible que calculemos el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza del
agua contra una represa, la masa y centro de gravedad de una varilla, y el trabajo realizado al sacar agua por bombeo de un tanque.
Explicación paso a paso: