Simboliza las siguientes proposiciones utilizando
cuantificadores.
191. Una recta cuya gráfica es creciente tiene como
pendiente un número positivo.
192. La ecuación m + 1 = 10 posee soluciones en el
conjunto de los numeros enteros.
193. En algunos paralelogramos las medidas de sus
cuatro lados son iguales entre si.
194. Si x es un número rcal positivo, entonces,
>2.
Respuestas
Hola, aquí va la respuesta
Cuantificadores
Primero, una función proposicional es una función que para cada valor de un cierto universo, nos devuelven una proposición, esta se obtiene instanciando la variable en dicho valor
Por ejemplo:
P(x): x es un animal
P(x) es nuestra función, ahora podemos nombrar sus "instancias"
P(el gato): el gato es un animal
P(el conejo): el conejo es un animal
Con los cuantificadores podemos construir tras proposiciones a partir de estas funciones, ya sea generalizando o particularizando
Tenemos 2 cuantificadores:
Cuantificador Universal (∀)
"Si P(x) es una función proposicional, entonces la proposición ∀x ∈ A, P(x) es verdadera si y solo si la instancia P(a) es verdadera para todos los a ∈ A"
En pocas palabras cuando usamos este cuantificador, estamos hablando para todos los casos que existen
Cuantificador Existencial (∃)
"Si P(x) es una función proposicional, entonces la proposición ∃x ∈ A, P(x) es verdadera si y solo si la instancia P(a) es verdadera para algún a ∈ A"
En otras palabras, con este cuantificador nos referimos a solo algún caso, no es necesario que se cumpla para todo, basta solo uno
Vamos a los ejercicios
191. Una recta cuya gráfica es creciente tiene como
pendiente un número positivo.
Esto siempre se cumple para todo numero positivo, por lo tanto aplicamos el cuantificador universal
∀m ∈ R⁺: P(m)
Es decir para toda recta con pendiente positiva, se cumple que su grafica es creciente
192. La ecuación m + 1 = 10 posee soluciones en el conjunto de los números enteros
Una ecuación lineal posee solo una solución posible, en este caso si obtenemos un resultado que se encuentra dentro de los enteros
∀ m ∈ Z: R(m) es verdadera
193. En algunos paralelogramos las medidas de sus cuatro lados son iguales entre si.
Para este caso, solo algunos paralelogramos cumplen la condición de que sus 4 lados son iguales entre si
∃ x ∈ P / Q(x)
Es decir existen lados de paralelogramos tal que se cumple que sus lados son iguales entre si
194. Si x es un número rcal positivo, entonces, x>2.
Esto no se cumple para todo "x", ya que si x= 1, entonces 1 < 2, usaremos el cuantificador existencial
∃ x ∈ R⁺/ x > 2
Saludoss