En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidad y 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene 4.8 metros de profundidad, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito?
Respuestas
Respuesta:
este es un problema de razones de cambio
PASO 1
Relacionar el volumen de agua que hay en el cono en todo momento dependiendo de los caudales que entran
En todo momento el volumen dentro del cono es lo que entra menos lo que sale (el caudal que entra positivo y el que sale negativo, ya que se está llenando, esto quiere decir que lo que entra es mayor de lo que Sale)
d (Vc )/dt = d(Ve)/dt - d(Vs) /dt
Vc= volumen en el cono
Ve= volumen que entra
Vs= Volumen que sale
NOS INTERESA SABE d(Vs)/dt, por lo tal lo despejamos de nuestra fórmula y nos queda:
d (Vs )/dt = d(Ve)/dt - d(Vc) /dt
PASO DOS
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Conocemos la razon del volumen respecto del tiempo con la que el agua entra al tanque; esto es:
d(Ve)/ dt = 225 litros / minuto
Por lo tanto debemos calcular
d(Vc) /dt La razón de cambio del volumen en el cono respecto del tiempo.
PASO 3
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Calculando D(Vc)/dt
a. Sabemos que el Volumen del cono es:
Vc= 1/3 *π* r^2* h
debemos expresar ese volumen únicamente en función de h.
b. Esto lo logramos a través de las proporciones de triangulos semejantes:
Sea:
Hc= Altura del cono= 6m
Rc= Radio cono=(3/2) m
h= altura en cualquier momento
r= radio del cono que depende de h
por triangulos semejantes hacemos:
r/h = Rc/Hc
r/h= (3/2) /6
r / h = 1/4
despejando r
r(h) = (1/4)* h ; este es el radio del cono dependiendo de la altura a la que lo midamos.
c. Expresando el volumen del cóno en función únicamente de h; sustituyendo r
Vc= 1/3 *π* r^2* h
Vc= 1/3 *π*{(1/4)* h}^2* h
Vc(h) = 1/3*π*(1/16)* h^2 *h
Vc(h) = 1/48*π* h^3
d). Ahora que ya tenemos el volumen del cono únicamente en función de la altura; derivemos respecto de h para encontrar *****d(Vc)/dh
d(Vc)/dh= 1/16 *π* h^2
Y su valor cuando h= 4.8 mt es:
d(Vc)/dh= 1/16 *π* 4.8^2
d(Vc)/dh= 1/16 *π* 4.8^2
d(Vc)/dh= 1.44*π
) ¿PARÁ QUE HICIMOS ESTO? EN REALIDAD NOS INTERESA
d(Vc)/dt no respecto de h
PERO SI NOSOTROS HACEMOS LA SIGUIENTE OPERACION
Multiplicamos la razon de cambio del volumen del cono respecto a su altura POR la razón de cambio de la altura del cono respecto del tiempo; el RESULTADO ES
LA RAZON DE CAMBIO DEL VOLUMEN EN EL CONO RESPECTO DEL TIEMPO
{ d(Vc) /dh }* { dh/dt } = d(Vc) / dt
YA CALCULAMOS d(Vc) /dh
Y dh/dt NOS LA DAN EN EL PROBLEMA
ENTONCES:
d(Vc)/dh= 1.44 *π
dh/dt =0.025 m/min (en el prob. la dan en cm; pero como todas las derivadas las hicimos respecto a las medidas en m, hay que hacer la conversion, para estas congruentes en las dimensionales) sustituyendo en la expresion obtenemos
{ 1.44 *π}* { 0.025 m/min } = d(Vc) / dt
0.036 *π [ m^3/min] = d(Vc) / dt
YA HEMOS CALCULADO COMO CAMBIA EL VOLUMEN DENTRO DEL CONO RESPECTO DEL TIEMPO
PASO4
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RECORDANDO QUE HICISMOS TODO ESTO PARA SUSTITUIR ESTE ULTIMO DATO EN
d (Vs )/dt = d(Ve)/dt - d(Vc) /dt
DATOS :
d(Ve) /dt = 225 litros/min = 0.225 m^3 /min (nos lo dan)
(DEBEMOS DE CONVERTIRLA A metros cúbicos porqué así hemo venido trabajando en los pasos anteriores, sabiendo que 1 m^3 = 1000 litros)
d(Vc)/dt = 0.036 *π [ m^3/min] (calculamos)
sustituyendo datos
d (Vs )/dt = 0.225 m^3 /min - 0.036 *π [ m^3/min]
d (Vs )/dt = 0.225 m^3 /min - 0.036 *π [ m^3/min]
d (Vs )/dt = 0.1119 [ m^3/min]
ESTA ES LA RAZÓN DE CON LA QUE EL AGUA SALE DEL CONO
SI LA QUIERES CONVERTIR A LITROS, MULTIPLICAS POR 1000 (1000 Lt = 1m ^3) Y OBTIENES
d (Vs )/dt = 0.1119 [ m^3/min]
d (Vs )/dt =111.90 Litros/ minuto
UNA CANTIDAD CONSIDERABLE, ASÍ QUE HAY QUE ARREGLAR ESE AGUJERO JAJAJAJAJA
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BUENO AMIGO ALLI ESTÁ TU SOLUCION, DISCULPA QUE ME EXTENDÍ PERO TRATE DE EXPLICARTE PASO POR PASO, ESPERO TE SIRVA EL PROCEDIMIENTO
Y OJALÁ ME DES PUNTITOS, JEJEJ, SUERTE Y A PRACTICAR RAZONES DE CAMBIO,BYE
CUALQUIER DUDA PUEDES ESCRIBIRME A MI CORREO
hola pneuma:: Que tal, Sólo un comentario a tu resolución; al final para encontrar la razón de cambio estás restando Litros con decimetros; que es dimensionalmente incorrecto; por eso te quedan 217. litros. Revisa, y vas a a ver.