Question

Las medidas de dos lados de un triángulo son 13 cm y 7 cm. El ángulo que forman mide 50°
1
En tu cuaderno, traza un triángulo semejante a éste cuya razón de semejanza sea
2
a) ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo que tra-
zaste?
b) ¿Cuánto miden los lados?
c) Anota la medida del lado faltante del triángulo
original
3. La imagen de la derecha representa una colcha rectangular hecha con retazos trian-
gulares. Respondan en su cuaderno lo siguiente.
a) ¿Por qué los triángulos de lunares son semejantes? ¿Qué criterio de semejanza
se emplea para comparar las figuras?
b) Si el segmento AB = DE, ¿los triángulos ABC y DEF son semejantes? ¿Qué criterio
de semejanza se usa para confirmar esto? ¿Cuál es la razón de semejanza de estos
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Answer 1

Triángulo semejante a éste cuya razón de semejanza sea 1/2. Ver adjunto. Los ángulos miden 50°, 30° y 100° y los lados del triangulo original 7cm,  13 cm y 10 cm

Explicación paso a paso:

Teorema del coseno:

c² = a²+b²-2ab*cosα

2. Datos:

a= 13 cm

b = 7 cm

α = 100°

Medida del tercer lado:

c²= (13cm)² +(7cm)² -2(13cm)(7(cm)cos50°

c² = 169cm² +49cm² - 116,99 cm²

c =√101,01

c = 10

1. Triángulo semejante a éste cuya razón de semejanza sea 1/2. Ver adjunto

3. La imagen de la derecha representa una colcha rectangular hecha con retazos triangulares. Respondan en su cuaderno lo siguiente.

a) ¿Por qué los triángulos de de color rosa y morado son semejantes? ¿Qué criterio de semejanza se emplea para comparar las figuras?

Porque tienen igual tamaño, posición, y sus ángulos internos son iguales

b) Si el segmento AB = DE, ¿los triángulos celeste y naranja son semejantes? ¿Qué criterio de semejanza se usa para confirmar esto? ¿Cuál es la razón de semejanza de estos?

La razón no la logro determinar porque no se tiene el valor de los lados y su semejanza es porque tienen sus ángulos internos iguales

Answer 2

Si tomamos un triángulo de lados 13cm y 7cm, con ángulo de 50° entre ellos, y generamos un triángulo semejante con razón de 2, tendremos un triángulo de:

• Ángulos: 50°,32.25° y 97.75°
• Lados: 26cm, 14cm y 20,10 cm

Por lo cual, el tercer lado del triángulo original mide 10,05cm

¿Qué son triángulos semejantes?

En geometría, dos figuras son semejantes si estas tienen la misma forma, sin importar el tamaño de las mismas, siempre que esta relación de dimensiones sea proporcional.

Por tanto, dos triángulos son semejantes entre si, si la relación entre sus lados es la misma, al igual que sus ángulos internos.

¿Cómo sabemos si dos triángulos son semejantes?

Si se tiene un triángulo de lados a,b y c, y otro de lados a',b' y c', estos son semejantes si es cierta la expresión

$a=k*a'\\b=k*b'\\c=k*c'$

siendo $k$ una constante.

Además, los ángulos entre a-c, a-b y b-c, son iguales a los ángulos entre a'-c', a'-b' y b'-c'

¿Cómo construimos un triángulo semejante?

Si conocemos las dimensiones de un triángulo, podemos construir infinitos triángulos semejantes a este. Basta con tomar las dimensiones conocidas, multiplicarlas por una constante, y construir el nuevo triángulo con esta dimensiones resultantes.

En nuestro caso, sabemos que dos de los lados miden 13 y 7 cm, por tanto, nuestro triángulo semejante de razón 2 será uno cuyos lados correspondientes midan 23 y 14 cm.

 

Calculando lados desconocidos

Si conocemos dos lados, y el ángulo entre estos, podemos calcular el tercer lado utilizando la ley de los cosenos

- el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de cuadrados de los dos lados restantes, menos el doble del producto de los lados restantes por el coseno del ángulo entre estos.

Si llamamos $a$ y $b$ a los lados conocidos, y $\alpha$ al ángulo entre estos, nuestro lado desconocido, $c$, lo podemos determinar usando esta ley

$c^{2} =a^{2} +b^{2} -2*a*b*cos(\alpha )\\c^{2} =26^{2} +14^{2} -2*26*14*cos(50)\\c=\sqrt{676+196-467,95}\\c=20,10$

Calculando los demás ángulos

Así como vimos la ley de los cosenos, existe otra relación más sencilla aún, la ley de los senos

-La razón entre un lado y el seno del ángulo formado entre los otros dos lados, es igual para todos los lados de un triángulo. Es decir,

$\frac{c}{sen\alpha }=\frac{b}{sen\beta } =\frac{a}{sen\gamma}$

donde $\beta$ es el ángulo entre $a$ y $c$, y $\gamma$ es el ángulo entre $b$ y $c$

Tenemos entonces,

$sen\beta =\frac{b*sen\alpha }{c} \\\\sen\beta =\frac{14*sen(50)}{20,10}\\\\sen\beta =0,5336$

Calculamos entonces en ángulo

$\beta =sen^{-1} (0,5336)\\\beta =32,25$

Y sabemos que la suma de los ángulos internos de un trángulo debe ser igual a 180°, por tanto

$\alpha +\beta +\gamma=180\\\gamma=180-\alpha -\beta \\\gamma=180-50-32,25\\\gamma=97,75$

Hemos definidos entonces nuestro triángulo semejante, de dimensiones

- 26cm; 14cm; 20,10cm

y ángulos

- 50°; 32,25°; 97,75°

Siendo 2 nuestra razón de semejanza, podemos determinar fácilmente las dimensiones de nuestro lado faltante original

$c=k*c'\\c'=c/k\\c'=20,10/2\\c'=10,05$

Más sobre triángulos semejantes en https://brainly.lat/tarea/5071055