Al momento de caer una gota a un charco de agua y a un balde¿cual seria la relación entre la variable tiempo y distancia?
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Una gota de agua de lluvia cae a través de una nube de pequeñas gotitas. A medida que cae, incrementa su masa al chocar inelásticamente con las pequeñas gotitas. El problema consiste en determinar la posición x y velocidad v de la gota en función del tiempo t, conocida la masa inicial m0, la velocidad inicial v0 y la altura inicial x0 en el instante t=0.
La masa de la gota
Hemos de hacer una suposición acerca de la forma en que la masa de la gota se incrementa con el tiempo. Si la gota va absorbiendo las pequeñas gotitas que encuentra en su camino, entonces
πr2 es el área trasversal de la gota supuesta esférica
ρn es la densidad de la niebla,
v es la velocidad de la gota
m es la masa de la gota, y ρa es la densidad del agua, m=densidad·volumen=ρa·(4/3)πr3
El valor de la constante de proporcionalidad k es
En general, supondremos que la razón del incremento de la masa de la gota con el tiempo es de la forma
Como la velocidad v=dx/dt
Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales para x=0, m=m0
Esta ecuación nos proporciona la masa m de la gota en función de la posición x.
Ecuaciones del movimiento
Sobre la gota de masa m actúa una única fuerza que es su peso mg. La segunda ley de Newton aplicada a este sistema de masa variable se escribe
Cuando g=0
Empezaremos por el caso más simple, aquél en el que la aceleración de la gravedad es cero. Podría ser el caso de un objeto que pasase a través de la materia interestelar.
Como la fuerza exterior es nula, el momento lineal se conserva, al aumentar la masa disminuye la velocidad de la gota
m0v0=mv
Integramos
Expresamos x en función del tiempo t
Calculamos ahora la velocidad v en función del tiempo t
Integrando, obtenemos la posición x de la gota en función del tiempo t.
Cuando α=2/3 las expresiones de la masa m de la gota, la velocidad v y la posición x en función del tiempo t son:
Cuando g≠0
Las ecuaciones que tenemos que resolver son
Con la notación
Las ecuaciones anteriores se escriben
En general, la aceleración de la gota dv/dt no es constante, para que fuese constante se debería cumplir que
donde c es una constante
Eliminado la derivada primera de m y su derivada en las dos ecuaciones que describen el movimiento de la gota, obtenemos una ecuación diferencial de primer orden en v.
Derivamos respecto del tiempo
Esta ecuación diferencial no tiene solución analítica conocida
La aceleración es constante cuando el término entre paréntesis es cero
Cuando α=2/3, la aceleración es constante e igual a 1/7 de la aceleración de la gravedad g
Procedimiento numérico
Se resuelve la ecuación diferencial de segundo orden por el procedimiento de Runge-Kutta
Con las condiciones iniciales t=0, v=0, m=m0
La masa inicial m0 en gramos es el producto de la densidad del agua 1.0 g/cm3 por el volumen de una esfera de radio r0 en cm
El valor de la constante de proporcionalidad k es
Donde ρn≈10-6 g/cm3 es la densidad de la niebla, y ρa=1.0 g/cm3 es la densidad del agua. La constante de proporcionalidad k es por tanto, del orden de 10-6.
La aceleración de la gravedad es g=980 cm/s2.
Actividades
Se introduce
El radio inicial r0 de la gota en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio inicial
La constante de proporcionalidad k en el intervalo 0.1·10-6 a 9.0·10-6, actuando en la barra de desplazamiento titulada Parámetro k.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Se observa la caída de la gota de agua en la parte izquierda del applet
Se representa la aceleración dv/dt de la gota en función del tiempo t, observando que tiende hacia el valor límite g/7=1.4 m/s2.
Vemos como la gota cambia su tamaño a medida que absorbe las pequeñas gotas suspendidas en el aire y que forman la niebla.
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