Question

Un director de un centro comprueba que en colocar 435 alumnos en filas de forma que a la primera fila haya 1 alumno, a la segunda 2, a la tercera 3, y así sucesivamente, caben todos. ¿Cuántas filas ha hecho?

Me piden resolver el problema con el temario de PROGRESIONES ARITMETICAS

Answer 1

Pues efectivamente hay que reconocer eso que quiere hacer el director como una progresión aritmética (PA) donde...

⇒ el número de alumnos (435) es la SUMA DE LOS TÉRMINOS de esa progresión

⇒ el primer término  $a_1$  es la primera fila la cual consta de 1 alumno, por tanto: $a_1$ = 1

⇒ la diferencia entre términos consecutivos es 1 ya que las filas/términos van aumentando en esa cantidad

Con esos datos y dos fórmulas de las PA se puede resolver el ejercicio.

Las incógnitas serán:
 
⇒ el último término de la progresión $a_n$
⇒ el nº de términos/filas de que consta la progresión "n"

Recurro a la fórmula para hallar el término general de cualquier PA

$a_n = a_1 +(n-1)*d$ ... sustituyendo los datos conocidos...
$a_n = 1 +(n-1)*1 \\ \\ a_n=1+n-1=n$

Es decir que en esta progresión cada término $a_n$ coincide con el nº de orden "n" que dicho término ocupa en la progresión.

Recurro ahora a la fórmula de suma de términos de una PA

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

... sustituyendo los datos conocidos y también sustituyendo ... $a_n$ por "n" ya que hemos deducido que es lo mismo...
$435*2= {(1+n)*n} \\ \\ 870= n^{2} +n \\ \\ n^{2} +n-870=0$

A resolver por fórmula general de ec. de 2º grado...

$n_1_,n_2= \frac{ -b (+-) \sqrt{b-4ac} }{2a} \\ \\ n_1 = \frac{(-1+59)}{2} =29 \\ \\ n_2$   
se desestima por salir solución negativa.

Por tanto la respuesta es 29 filas.

Saludos.