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En matemáticas, el producto de todos los enteros desde el 1 hasta un entero no-negativo n que tiene la misma paridad (pares o impares) que n se llama doble factorial o semifactorial de n y se representa como n!!. Se define por:1
{\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }{\displaystyle n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots }
(Una consecuencia de esta definición es que 0!! = 1, como un producto vacío).
Entonces, para n par el doble factorial es:
{\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,}{\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,}
Y para n impar es:
{\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.}{\displaystyle n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.}
Por ejemplo, 9!!=9·7·5·3·1=945.
El doble factorial no debe confundirse con la función factorial iterada dos veces, que es escrita como (n!)! y no n!! La secuencia de los dobles factoriales para los pares n=0, 2, 4, 6, 8,... empieza así:
1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120,... (secuencia A000165 en el OEIS)
La secuencia de los dobles factoriales para los impares n=1, 3, 5, 7, 9,... empieza así:
1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135,... (secuencia A001147 en el OEIS)
Explicación paso a paso: