Question

Aplicando las reglas de la derivación, calculara las siguientes derivadas
1. f(x)=ln⁡(x)/x
2. f(x)=x^2∙2^x
3. f (t)=(t^2+1)∙(t^3+t^2+1)

Calcula las siguientes derivadas implícitas.

1. \sqrt{x} + \sqrt{y} =9

2. x^2-y^2=16

Answer 1

Bueno debes saber la derivadas de cada función o aprender a obtenerlas usando la definición de derivada usando los límites. entonces caso, por favor apréndetelas las vas a necesitar como yo necesito comer cada hora ..ok..entonces: 
nota: voy a usar notación común con el apóstrofe espero no te moleste, es más práctico pero se debería usar la de Leibnez

Veamos las derivadas que vamos a usar y algunas propiedades de ellas.
$y=ln(x) \\ y`= \frac{1}{x} \\ \\ y=ax \\ y`=x \\ \\ y= x^{n} \\ y`=n( x^{n-1} )$
Propiedad que vamos a usar, derivada del cociente: ojo: u y v cson FUNCIONES, no constantes¡...cuidado¡
$y= \frac{u}{v} \\ y`= \frac{(u`)(v)-(v`)(u)}{ (v)^{2} }$

y otra que es la derivada del producto
$y=(u)(v) \\ y`=(u`)(v)+(v`)(u)$ 
además de la derivada de una constante elevada a una función
$y= a^{x} \\ y`= a^{x}(ln(a))$

entonces tenemos para:

$a) y= \frac{ln(x)}{x}$ 
vamos a resolverlo por dos casos, solo para que veas que no solo existe un camino...
usando derivada del producto, acomodemos a) para usar ésta propiedad así

$y= \frac{ln(x)}{x}=ln(x)( \frac{1}{x} )=ln(x) (x^{-1}) \\ y`=(ln(x))`( x^{-1})+ln(x)( x^{-1} )` \\ y`=\frac{1}{x}( x^{-1} )+ln(x)(-1( x^{-2} ) ) \\ y`= \frac{1}{x}( \frac{1}{x} )-(ln(x)( \frac{1}{ x^{2} } )) \\ y`= \frac{1}{ x^{2} } - \frac{1}{ x^{2} }ln(x) \\ y`= \frac{1}{ x^{2} }(1-ln(x))$

ahora resolvamos por el cociente 
$y= \frac{ln(x)}{x} \\ y`= \frac{(ln(x))`(x)-(x)`(ln(x))}{ x^{2}} \\ y`= \frac{ \frac{1}{x}(x)-(1)(ln(x)) }{ x^{2} } \\ y`= \frac{1-ln(x)}{ x^{2} } \\ y`= \frac{1}{ x^{2} }- \frac{ln(x)}{ x^{2} } \\ y`= \frac{1}{ x^{2} } (1-ln(x))$

Y como te darás cuenta es lo mismo...:D tiene que salirte lo mismo...

en segundo entiendo que es así (si está mal me corriges)

$b)y= x^{2} ( 2^{x} ) \\ y`=( x^{2} )`( 2^{x} )+( x^{2} )( 2^{x} )` \\ y`=(2 x^{1} ) 2^{x} +( x^{2} )( 2^{x} (ln(2)) \\ y`= 2^{x}(2x+ x^{2} ln(2))$

y para la tercera:
Nota: aquí hay dos formas de hacerlo, una es efectuando ley distributiva en los reales y abrir el polinomio para derivar cada término, y el otro es derivando por el producto que se lo medio feo por ahí...veamos
multiplicando término atérmino
$y=( t^{2}+1 )( t^{3}+ t^{2}+1 ) \\ y= t^{5} + t^{4}+ t^{2}+ t^{3}+ t^{2}+1$

y ahora derivamos cada uno
$y`=5 t^{4}+4 t^{3}+2 t^{1}+3 t^{2}+2 t^{1}+0 \\ y`= 5 t^{4}+4 t^{3}+4 t^{1}+3 t^{2}$ y eso sería todo...puedes verificar derivando como producto, pues ya me estrese...:3 

ahora la derivada implícita lo único que haces es derivar todos los término en función de alguien...

vamos a derivar x respecto de y $x^{2} + y^{2}=9 \\ 2x+2y(x`)=0 \\ x`= \frac{-2x}{2y} \\ x`=- \frac{x}{y}$

veamos que pasa si derivamos y respecto de x

$x^{2} + y^{2}=9 \\ 2xy`+2y=0 \\ y`= -\frac{2y}{2x} \\ y`= -\frac{y}{x}$

y eso sería todo.
Para el último inténtalo hacer...si derivas x respecto de "y" y te encuentras con algo que no tiene "x" entonces lo derivas y DEJAS expresado la derivada que te debe es decir x`, en caso contrario si derivas "y" respecto de "x" y mientras vas derivando cada término, te asoma algo que no tiene un "y" entonces dejas expresada la derivada que te debe es decir y`

espero te haya podido ayudar y repasa....
https://es.symbolab.com/ te dejo ésta página es muy práctica para resolver todo tipo de problemas, te la recomiendo para que hagas los ejercicios y los verifiques aquí, con lleva una gran responsabilidad....úsala bien...no te acostumbres 

jajaja...disculpa squart es raíz...lo siento
para ésta, la derivada de la raíz es así

$y= \sqrt[n]{u} \\ y`= \frac{u`}{n \sqrt[n]{ (u)^{n-1} } }$

entonces nos quedaría así
$\sqrt[2]{x} + \sqrt[2]{y}=9 \\ \frac{1}{2 \sqrt[2]{ x^{2-1} } } + \frac{y`}{2 \sqrt[2]{ y^{2-1} } }=0 \\ \frac{1}{2 \sqrt{x} } + \frac{y`}{2 \sqrt{y} }=0 \\ y`= -\frac{2 \sqrt{y} }{2 \sqrt{x} } \\ y`=- \sqrt{ \frac{y}{x} }$ aquí está derivada implícita de x respecto de "y" jaja..lo siento no recordaba que era squart..jaja