Question

Al hacer la sustitución z=y-x la ecuación diferencial $y'=x^2+y^2+((1/x)-2x)y$ se transforma en la ecuacion diferencial:

a. z'=z-(1/x)
b. z'= z^2-(z/x^2)
c. z'= z+(z^2/x)
d. z'= z^2+(z/x)

Answer 1

Respuesta:

Una ecuación es una relación entre una serie de variables F(x, y, z, ...)=0. Por ejemplo:

expresa que las variables x e y guardan una relación en la forma gráfica de una elipse, en el plano OXY.

Las ecuaciones surgen en Matemáticas cuando se realiza el estudio de un fenómeno físico, siendo las variables x,y,... ciertas magnitudes físicas (espacio, tiempo, velocidad, etc.). En ocasiones, al hacer un estudio físico no sólo aparece una dependencia entre las magnitudes sino que también pueden aparecer en ella sus derivadas.

Veamos un ejemplo práctico:

Desde una gran altura se deja caer un objeto de masa m . Queremos determinar la velocidad de caída de este objeto en función del tiempo t:

La segunda ley de Newton nos indica que la suma de fuerzas que actúan sobre la masa será igual a su variación de momento lineal, por tanto:

siendo g la aceleración de la gravedad, k el coeficiente de fricción con el aire, y m la masa del objeto, es decir, g, m y k son constantes numéricas conocidas. Esta es una ecuación diferencial del tipo F(v(t), v, v’ ) = 0.

Para esta ecuación es fácil comprobar que toda función v(t) de la forma:

cumple las condiciones de la ecuación, donde C es cierta constante indeterminada. A esta función v(t) se la llama solución general de la ecuación diferencial.

Dependiendo de las condiciones iniciales del problema podemos hallar diversas soluciones particulares, en nuestro ejemplo la velocidad inicial es nula (caída libre), por lo tanto: v(0)=0. Es decir,

y por tanto el valor de C, para este caso particular es