Question

Calcular la longitud de lado de un pentágono regular inscrito en un círculo cuyo diámetro es de 20 m, así como su perímetro y su superficie

Ayúdenme, por favor! En verdad no entiendo

Answer 1

Has estudiado los teoremas de seno y coseno? 
Lo pregunto porque hay que usar uno de ellos en este ejercicio pero antes hay que deducir cosas.

Mira la imagen adjunta pero no hagas caso del 5, solo fíjate en el dibujo.

Si tienes el diámetro del círculo, la mitad es el radio y coincide con los lados de un triángulo isósceles que se forma al trazar dos radios a dos vértices consecutivos del pentágono, lo ves?

Pues ahí ya tienes que cada uno de esos lados mide 20:2 = 10 m.

Ahora se necesita saber el valor del ángulo central. Si consideramos que el ángulo total de la circunferencia completa mide 360º, al dividir entre el número de ángulos que se forman en el centro una vez trazados todos los radios a los vértices, nos dará el valor de uno de esos ángulos.

360 : 5 = 72º

Ahora tenemos un triángulo donde sabemos dos de sus lados (que además son iguales) y el ángulo comprendido que llamaré $\alpha$

Con esos datos interesa acudir al teorema del coseno que dice:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} -b*c*cos \alpha$

Donde ...
⇒ "a" es lado desigual del isósceles que es el lado del pentágono
⇒ "b" y "c" son los lados iguales que se corresponden con los radios
⇒ $\alpha$ es el ángulo comprendido entre los lados iguales y mide 72º según lo calculado antes.

Sustituyendo los datos conocidos...

$a^{2} = 10^{2} + 10^{2} -10*10*cos 72 = 200 - 100*0,31= 69$

Por tanto... $a= \sqrt{31} =5,56$ m. mide el lado del pentágono.

Saber ahora el perímetro es multiplicar por 5 lados que tiene y saber su área es aplicar la fórmula general para polígonos regulares. 

$A= \frac{Perimetro*Apotema}{2}$

Eso te lo dejo a ti, ok? 

Saludos.