• Asignatura: Matemáticas
  • Autor: mayrajudithavialarey
  • hace 4 años

Expesiones de la forma ax=c

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Respuesta dada por: luischarris
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Respuesta:

Explicación paso a paso:

1 ECUACIONES ALGEBRAÕCAS

Una ecuaciÛn es una expresiÛn de la forma a = b donde tanto a como b son

expresiones de caracter algebraÌco y al menos en una de ellas hay uno m·s

tÈrminos deconocidos.

Ejemplo 1 3x + 17 = 21;

x+6

11 =

2x4

x+1 ; x + y + z = 6; 4x

3  7x + 5 =

2x

2 + 3;

p

x + 5 = x  1:

1.1 Tipos de ecuaciones

Las ecuaciones en donde los tÈrminos desconocidos se encuentran combinados

con expresiones conocidas mediante adiciones, multiplicaciones, exponentes o

radicales son ecuaciones algebraÌcas: 3x + 17 = 21;

x+6

11 =

2x4

x+1 ; x + y + z =

6; 4x

3  7x + 5 = 2x

2 + 3;

p

x + 5 = x  1:

Hay ecuaciones trigonomÈtricas, en donde sobre los tÈrminos desconocidos

se aplican expresiones de caracter trigonomÈtrico: cos x + tan x = 2;

2

1sin x =

sec x:TambiÈn hay ecuaciones de caracter exponencial o logarÌtmico: 2

x + 1 =

5; log2

(x + 3) = 1

1.2 SoluciÛn de ecuaciones

Solucionar una ecuaciÛn implica determinar los valores de los tÈrminos desconocidos para los cuales la expresiÛn a = b resulta verdadera. Es necesario conocer

el conjunto de referencia con el cual se est· trabajando, la ecuaciÛn 5x + 6 = 2

no tiene soluciÛn si el conjunto de referencia es el conjunto de los n˙meros naturales, o el de los n˙meros enteros: no hay ning˙n n˙mero natural o entero

que multiplicado por cinco y sumado con seis, dÈ como resultado dos. Por el

contrario, si el conjunto de referencia es el conjunto de los n˙meros racionales o

de los reales, la ecuaciÛn tiene soluciÛn: x =

4

5

2 Q R: Mientras no se diga

lo contrario, el conjunto de referencia ser· el conjunto de los n˙meros reales.

La ecuaciÛn algebraÌca m·s simple es la ecuaciÛn de primer grado con una

incognita, es una ecuaciÛn que tiene la estructura ax + b = c donde a; b; c 2 R:

Para solucionar una ecuaciÛn de este tipo se hacen uso de las propiedades

que hacen del conjunto de los n˙meros reales un cuerpo:

ax + b = c ) ax + b + (b) = c + (b) por que la propiedad uniforme con

relaciÛn a la adiciÛn me permite sumar una misma cantidad a ambos tÈrminos de

una igualdad sin que Èsta se altere. ax+ (b + (b)) = c+ (b) ) ax+ 0 = cb

ya que todo n˙mero real tiene un inverso aditivo y la suma de un n˙mero con

su inverso es cero, ax + 0 = c  b ) ax = c  b porque la propiedad modulativa

de la adiciÛn asÌ lo permite, a

1ax = a

1

(c  b) gracias a que la propiedad

uniforme con relaciÛn a la multiplicaciÛn permite multiplicar por una misma

cantidad ambos tÈrminos de una igualdad sin que Èsta se altere. 1x = a

1

(c  b)

porque al multiplicar un n˙mero por su inverso multiplicativo el resultado es 1:

1x = a

1

(c  b) ) x = a

1

(c  b) por ser el 1 el mÛResumiendo:

ax + b = c

ax + b + (b) = c + (b)

ax + (b + (b)) = c + (b)

ax + 0 = c  b

ax = c  b

a

1

ax = a

1

(c  b)

1x = a

1

(c  b)

x = a

1

(c  b)

No siempre una ecuaciÛn de primer grado est· escrita explicÌtamente en la

forma ax + b = c; para determinar su soluciÛn se requiere un previo proceso

algebraÌco de simpliÖcaciÛn .

Ejemplo 2 2

z + 1

+

3

2z  3

=

6z + 1

2z

2  z  3

factorizemos el denominador del

tÈrmino de la derecha: 2

z + 1

+

3

2z  3

=

6z + 1

(z + 1) (2z  3) al encontrar denominadores distintos es necesario reducir todas las expresiones a un denominador com˙n, el cual en este caso es (z + 1) (2z  3) )

2

z + 1

+

3

2z  3

=

6z + 1

(z + 1) (2z  3) se transforma en:

2 (2z  3)

(z + 1) (2z  3) +

3 (z + 1)

(2z  3) (z + 1) =

6z + 1

(z + 1) (2z  3)

cuando todos los tÈrminos tienen el mismo denominador, siempre y cuando sea

distinto de cero, este se puede eliminar, gracias a la propiedad uniforme, en este

caso obtenemos:

2 (2z  3) + 3 (z + 1) = 6z + 1 )

4z  6 + 3z + 3 = 6z + 1 )

7z  3 = 6z + 1 ) z = 4:

1.3 La EcuaciÛn de segundo grado

Toda expresiÛn de la forma ax2 + bx + c = 0 con a; b; c 2 R y a 6= 0; es una

ecuaciÛn de segundo grado con una incognita, resolver una ecuaciÛn de este tipo,

en el conjunto de los n˙meros reales, que es el conjunto de referencia, implica

encontrar n˙meros reales que cumplan la condiciÛn dada.

Para encontrar una soluciÛn vamos a emplear las p

reales, mencionadas anteriormente:

ax2 + bx + c = 0 )

x

2 +

b

a

x +

c

a

= 0 )

x

2 +

b

a

x = 0

c

a

)

x

2 + 2

b

2a

x =

c

a

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