dados los vértices de un triangulo (2,1,-3),(1,-2,5) y (3,-1,6) hallar las coordenadas del baricentro.
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Respuesta dada por:
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La coordenadas del baricentro es el punto de intersección entre las tres medianas del triángulo.
La mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Dado que las tres concurren a un punto es necesario conocer dos de ellas.
Punto medio del lado opuesto al vértice (3, -1, 6); (1)
[(2, 1, -3) + (1, -2, 5)]/2 = (3/2, -1/2, 1)
Punto medio del lado opuesto al vértice (2, 1, -3); (2)
[(3, -1, 6) + (1, -2, 5)] = (2, -3/2, 11/2)
Vector director de la mediana que pasa por (1)
r = (3, -1, 6) - (3/2, -1/2, 1) = (3/2, -1/2, 5)
Vector director de la mediana que pasa por (2)
s = (2, 1, -3) - (2, -3/2, 11/2) = (0, 5/2, -17/2)
Mediana del vértice (1)
OP = (3, -1, 6) + (3/2, -1/2, 5) u
Mediana por el vértice (2)
OQ = (2, 1, -3) + (0, 5/2, -17/2) v
u y v son los parámetros reales que determinan los infinitos puntos de las dos medianas.
Debemos hallar u y v de modo que OP sea igual a OQ
Igualamos por coordenadas:
x) 3 + 3/2 u = 2 + 0 v
y) -1 -1/2 u = 1 + 5/2 v
z) 6 + 5 u = -3 - 17/2 v
Las tres ecuaciones deben formar un sistema compatible para u y v
De x): u = - 2/3; reemplazamos en y:
-1/2 + 1/2 . 2/3 = 1 + 5/2 v; v = - 2/3
Reemplazamos en z)
6 - 5 . 2/3 = - 3 + 17/2 . 2/3
8/3 = 8/3, por lo que el sistema es compatible
Finalmente con u = v = - 2/3 resultan:
x = 2, y = -2/3, z = 8/3
El baricentro es el punto G(2, -2/3, 8/3)
Saludos Herminio
La mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Dado que las tres concurren a un punto es necesario conocer dos de ellas.
Punto medio del lado opuesto al vértice (3, -1, 6); (1)
[(2, 1, -3) + (1, -2, 5)]/2 = (3/2, -1/2, 1)
Punto medio del lado opuesto al vértice (2, 1, -3); (2)
[(3, -1, 6) + (1, -2, 5)] = (2, -3/2, 11/2)
Vector director de la mediana que pasa por (1)
r = (3, -1, 6) - (3/2, -1/2, 1) = (3/2, -1/2, 5)
Vector director de la mediana que pasa por (2)
s = (2, 1, -3) - (2, -3/2, 11/2) = (0, 5/2, -17/2)
Mediana del vértice (1)
OP = (3, -1, 6) + (3/2, -1/2, 5) u
Mediana por el vértice (2)
OQ = (2, 1, -3) + (0, 5/2, -17/2) v
u y v son los parámetros reales que determinan los infinitos puntos de las dos medianas.
Debemos hallar u y v de modo que OP sea igual a OQ
Igualamos por coordenadas:
x) 3 + 3/2 u = 2 + 0 v
y) -1 -1/2 u = 1 + 5/2 v
z) 6 + 5 u = -3 - 17/2 v
Las tres ecuaciones deben formar un sistema compatible para u y v
De x): u = - 2/3; reemplazamos en y:
-1/2 + 1/2 . 2/3 = 1 + 5/2 v; v = - 2/3
Reemplazamos en z)
6 - 5 . 2/3 = - 3 + 17/2 . 2/3
8/3 = 8/3, por lo que el sistema es compatible
Finalmente con u = v = - 2/3 resultan:
x = 2, y = -2/3, z = 8/3
El baricentro es el punto G(2, -2/3, 8/3)
Saludos Herminio
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