Question

dados los vértices de un triangulo (2,1,-3),(1,-2,5) y (3,-1,6) hallar las coordenadas del baricentro.

Answer 1

La coordenadas del baricentro es el punto de intersección entre las tres medianas del triángulo.

La mediana es la recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto. Dado que las tres concurren a un punto es necesario conocer dos de ellas.

Punto medio del lado opuesto al vértice (3, -1, 6); (1)

[(2, 1, -3) + (1, -2, 5)]/2 = (3/2, -1/2, 1)

Punto medio del lado opuesto al vértice (2, 1, -3); (2)

[(3, -1, 6) + (1, -2, 5)] = (2, -3/2, 11/2)

Vector director de la mediana que pasa por (1)

r = (3, -1, 6) - (3/2, -1/2, 1) = (3/2, -1/2, 5)

Vector director de la mediana que pasa por (2)

s = (2, 1, -3) - (2, -3/2, 11/2) = (0, 5/2, -17/2)

Mediana del vértice (1)

OP = (3, -1, 6) + (3/2, -1/2, 5) u

Mediana por el vértice (2)

OQ = (2, 1, -3) + (0, 5/2, -17/2) v

u y v son los parámetros reales que determinan los infinitos puntos de las dos medianas.

Debemos hallar u y v de modo que OP sea igual a OQ

Igualamos por coordenadas:

x) 3 + 3/2 u = 2 + 0 v

y) -1 -1/2 u = 1 + 5/2 v

z) 6 + 5 u = -3 - 17/2 v

Las tres ecuaciones deben formar un sistema compatible para u y v

De x): u = - 2/3; reemplazamos en y:

-1/2 + 1/2 . 2/3 = 1 + 5/2 v; v = - 2/3

Reemplazamos en z)

6 - 5 . 2/3 = - 3 + 17/2 . 2/3

8/3 = 8/3, por lo que el sistema es compatible

Finalmente con u = v = - 2/3 resultan:

x = 2, y = -2/3, z = 8/3

El baricentro es el punto G(2, -2/3, 8/3)

Saludos Herminio